對(duì)于數(shù)列{a_n}，若定義一種新運(yùn)算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），則稱{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列；類似地，對(duì)正整數(shù)k，定義：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），則稱{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=5n²+3n（n∈N⁺），則{△a_n}，{△²a_n}是什么數(shù)列？
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求{a_n}的通項(xiàng)公式及

lim

n→∞

Sn+n-2

n•3n

的值．

已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿足滿足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=n，寫出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為c_n=An+B，（A．、B是常數(shù)），試問(wèn)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）已知數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)為dn=2n+n，設(shè){d_n}的“生成數(shù)列”為{p_n}．若數(shù)列{L_n}滿足Ln=

dn     n是奇數(shù) pn     n是偶數(shù)

求數(shù)列{L_n}的前n項(xiàng)和T_n．

（2013•普陀區(qū)二模）對(duì)于任意的n∈N^*，若數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列{a_n}具有“性質(zhì)m”：
①

an+an+2

2

＜an+1；   ②存在實(shí)數(shù)M，使得a_n≤M成立．
（1）數(shù)列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、bn=2sin

nπ

6

（n=1，2，3，4，5），判斷{a_n}、{b_n}是否具有“性質(zhì)m”；
（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且c3=

1

4

，S3=

7

4

，證明：數(shù)列{S_n}具有“性質(zhì)m”，并指出M的取值范圍；
（3）若數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式dn=

t (3•2n-n)+1

2n

（n∈N^*）．對(duì)于任意的n≥3（n∈N^*）．

對(duì)于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*，滿足A∪B=M．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=2n-1，求等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若M為2n元集合，A∩B=∅且

n

k=1

an=

n

k=1

bn，則稱A∪B是集合M的一種“等和劃分”（A∪B與B∪A算是同一種劃分）．
已知集合M={1，2，…，12}
①若12∈A，集合A中有五個(gè)奇數(shù)，試確定集合A；
②試確定集合M共有多少種等和劃分？

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足：2S_n+1+a_n+1+4S_n+1S_n=0，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公a_n
（2）若記bn=(2n+1)•(

1

Sn

+2)，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．