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函數(shù)的連續(xù)性 (1)函數(shù)連續(xù)性的概念: ①如果函數(shù)f(x)在x=x0處及其附近有定義,而且,就說函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù). 注:函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)必須具備三個條件:Ⅰ)函數(shù)f(x)在x=x0處及其附近有定義,Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處有極限,Ⅲ)函數(shù)f(x)在x=x0處的極限值等于這一點處的函數(shù)值f(x0). ②右連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處及其右側有定義.而且(或). ③若函數(shù)f內每一點都連續(xù),且在a點右連續(xù).b點左連續(xù).則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù). 注:函數(shù)f內連續(xù).只要求在(a,b)內每一點都連續(xù)即可.對在端點處是否連續(xù)不要求. (2)函數(shù)連續(xù)性的運算: ①若f都在點x0處連續(xù).則f•g(x).也在點x0處連續(xù). ②若u(x)都在點x0處連續(xù).且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù),則復合函數(shù)f[u(x)]在點x0處連續(xù). (3)初等函數(shù)的連續(xù)性: ①基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù).三角函數(shù)等)在定義域里每一點處都連續(xù). ②基本初等函數(shù)及常數(shù)經過有限次四則運送所得到的函數(shù).都是初等函數(shù).初等函數(shù)在其定義域里每一點處的極限都等于該點的函數(shù)值. (3) 圖甲表示的是f(x)在點x0處的左.右極限存在但不相等.即不存在圖乙表示的是f(x)在點x0處的左極限存在.右極限不存在.也屬于不存在圖丙表示的是存在.但函數(shù)f(x)在點x0處沒有定義圖丁表示的是存在.但它不等于函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值. 注意:函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)與函數(shù)f(x)在x=x0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別.“連續(xù)必有極限.有極限未必連續(xù). 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實數(shù)解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，

b-a

＜ln

＜

b-a

（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程： $數(shù)學公式$ 在（x₁，x₂）恒有實數(shù)解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得 $數(shù)學公式$ ．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時， $數(shù)學公式$ （可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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已知函數(shù)f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關系式并求f(x)的單調減區(qū)間；

（2）證明：對任意實數(shù)0<x₁<x₂<1, 關于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實數(shù)解

（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內導數(shù)都存在，則在(a,b)內至少存在一點x₀，使得.如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：