函數(shù)的連續(xù)性 (1)函數(shù)連續(xù)性的概念: ①如果函數(shù)f(x)在x=x0處及其附近有定義,而且,就說函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù). 注:函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)必須具備三個(gè)條件:Ⅰ)函數(shù)f(x)在x=x0處及其附近有定義,Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處有極限,Ⅲ)函數(shù)f(x)在x=x0處的極限值等于這一點(diǎn)處的函數(shù)值f(x0). ②右連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處及其右側(cè)有定義.而且(或). ③若函數(shù)f內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),且在a點(diǎn)右連續(xù).b點(diǎn)左連續(xù).則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù). 注:函數(shù)f內(nèi)連續(xù).只要求在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)即可.對(duì)在端點(diǎn)處是否連續(xù)不要求. (2)函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算: ①若f都在點(diǎn)x0處連續(xù).則f•g(x).也在點(diǎn)x0處連續(xù). ②若u(x)都在點(diǎn)x0處連續(xù).且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)f[u(x)]在點(diǎn)x0處連續(xù). (3)初等函數(shù)的連續(xù)性: ①基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù).三角函數(shù)等)在定義域里每一點(diǎn)處都連續(xù). ②基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)送所得到的函數(shù).都是初等函數(shù).初等函數(shù)在其定義域里每一點(diǎn)處的極限都等于該點(diǎn)的函數(shù)值. (3) 圖甲表示的是f(x)在點(diǎn)x0處的左.右極限存在但不相等.即不存在 圖乙表示的是f(x)在點(diǎn)x0處的左極限存在.右極限不存在.也屬于不存在 圖丙表示的是存在.但函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處沒有定義 圖丁表示的是存在.但它不等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值. 注意:函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)與函數(shù)f(x)在x=x0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別.“連續(xù)必有極限.有極限未必連續(xù). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

查看答案和解析>>

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：數(shù)學(xué)公式在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得數(shù)學(xué)公式．如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，數(shù)學(xué)公式（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

查看答案和解析>>

已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x1<x2<1, 關(guān)于x的方程：

在（x1,x2）恒有實(shí)數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得.如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<a<b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

查看答案和解析>>

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得．如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

查看答案和解析>>

（1）討論函數(shù)f（x）=
1(x＞0)
0(x=0)
-1(x＜0)
，在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性；
（2）討論函數(shù)f（x）=
x
x-3
在區(qū)間[0，3]上的連續(xù)性．

查看答案和解析>>


同步練習(xí)冊(cè)答案