題型1:線長(zhǎng)問題 例1． 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),的值介于0到之間的概率 為 A． B． C． D． [解析]在區(qū)間[-1.1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí),要使的值介于0到之間,需使或∴或.區(qū)間長(zhǎng)度為.由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A. 答案 A 例2．ABCD為長(zhǎng)方形.AB＝2.BC＝1.O為AB的中點(diǎn).在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn).取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 ( ) A． B． C． D． [解析]長(zhǎng)方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分面積為 因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為÷2＝ 取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 答案 B 例3．假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車.隨機(jī)到達(dá)車站.問等車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率 ? 解:以兩班車出發(fā)間隔 區(qū)間作為樣本空間 S.乘客隨機(jī)地到達(dá).即在這個(gè)長(zhǎng)度是 10 的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生.因此是幾何概率問題. 要使得等車的時(shí)間不超過 3 分鐘.即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中 A 包含的樣本點(diǎn). p=== 0.3 . 題型2:面積問題 例4．投鏢游戲中的靶子由邊長(zhǎng)為1米的四方板構(gòu)成.并將此板分成四個(gè)邊長(zhǎng)為1/2米的小方塊.實(shí)驗(yàn)是向板中投鏢.事件A表示投中陰影部分為成功.考慮事件A發(fā)生的概率. 分析與解答:類似于引例1的解釋.完全可以把此引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起.既事件組中的每一個(gè)基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的.這一點(diǎn)我們完全可以用引例1的方法驗(yàn)證其正確性. 解析:P2/12=1/4. 例5．(CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫)兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者.莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作.他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里.在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛.而霍伊在下午3:00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛.試問在下午3:0O時(shí)他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大? 解:設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離. 于是 則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x.y都在它們各自的限制范圍內(nèi).則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域.每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置. 他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式 的數(shù)對(duì)組成.此不等式等價(jià)于 右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組.陰影部分代表所求事件.方形區(qū)域的面積為1200平方米公里.而事件的面積為 . 于是有. 例6．山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板．邊長(zhǎng)為18厘米.掛于前門附近的墻上.顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè).投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓.圓心在靶的中心.當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)．可得到一個(gè)大餡餅,當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí).可得到一個(gè)中餡餅,如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí).可得到一個(gè)小餡餅.如果擊中靶上的其他部分.則得不到諂餅.我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶.并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度.即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上.試求一顧客將嬴得: (a)一張大餡餅. (b)一張中餡餅. (c)一張小餡餅. (d)沒得到餡餅的概率 解析:我們實(shí)驗(yàn)的樣本空間可由一個(gè)邊長(zhǎng)為18的正方形表示.右圖表明R和子區(qū)域r1.r2.r3和r,它們分別表示得大餡餅.中餡餅.小餡餅或沒得到餡餅的事件. , , , . 題型3:體積問題 例7．(1)在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率. 解析:由于取水樣的隨機(jī)性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比.即2/400=0.005. (2)如果在一個(gè)5萬(wàn)平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領(lǐng)域里隨意選定一點(diǎn)鉆探,問鉆到石油的概率是多少? 解析:由于選點(diǎn)的隨機(jī)性,可以認(rèn)為該海域中各點(diǎn)被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認(rèn)為等于貯油海域的面積與整個(gè)海域面積之比,即等于40/50000=0.0008. 例8．在線段[0.1]上任意投三個(gè)點(diǎn).問由0至三點(diǎn)的三線段.能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大. 解析:設(shè)0到三點(diǎn)的三線段長(zhǎng)分別為x,y,z.即相應(yīng)的 z 右端點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z.顯然.這三條線 1 C 段構(gòu)成三角形的充要條件是: A D . 在線段[0.1]上任意投三點(diǎn)x,y,z.與立方體 0 1 y ..中的點(diǎn) 1 一一對(duì)應(yīng).可見所求“構(gòu)成三角形 的概率.等價(jià)于x B 邊長(zhǎng)為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn).而點(diǎn)落在 區(qū)域中的概率,這也就是落在圖中由ΔADC.ΔADB.ΔBDC.ΔAOC.ΔAOB.ΔBOC所圍成的區(qū)域G中的概率. 由于 . 由此得.能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大. 題型4:隨機(jī)模擬 例9．隨機(jī)地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn).點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比.求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解析:半圓域如圖 設(shè)`原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于’ 由幾何概率的定義 . 例10．隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和.這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1.試求與之和不超過1.積不小于0.09的概率. 解析:.不等式確定平面域. `’則發(fā)生的充要條件為不 等式確定了的子域. 故: 例11. 曲線y=-x2+1與x軸.y軸圍成一個(gè)區(qū)域A.直線x=1.直線y=1.x軸圍成一個(gè)正方形.向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻.利用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬這個(gè)試驗(yàn).并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù). 答案:如下表.由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機(jī)數(shù).它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo).如果一個(gè)點(diǎn)(x,y)滿足y≤-x2+1.就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi).在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1.否則填0. x y 計(jì)數(shù) 0.598895 0.940794 0 0.512284 0.118961 1 0.496841 0.784417 0 0.112796 0.690634 1 0.359600 0.371441 1 0.101260 0.650512 1 - - - 0.947386 0.902127 0 0.117618 0.305673 1 0.516465 0.222907 1 0.596393 0.969695 0 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（1）若橢圓的方程是：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．在此條件下我們可以提出這樣一個(gè)問題：“設(shè)△PF1F2的過P角的外角平分線為l，自焦點(diǎn)F2引l的垂線，垂足為Q，試求Q點(diǎn)的軌跡方程？”
對(duì)該問題某同學(xué)給出了一個(gè)正確的求解，但部分解答過程因作業(yè)本受潮模糊了，我們?cè)?br />精英家教網(wǎng)
這些模糊地方劃了線，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整．
解：延長(zhǎng)F2Q 交F1P的延長(zhǎng)線于E，據(jù)題意，
E與F2關(guān)于l對(duì)稱，所以|PE|=|PF2|．
所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
 
，
在△EF1F2中，顯然OQ是平行于EF1的中位線，
所以|OQ|=
1
2
|EF1|=
 
，
注意到P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，所以Q點(diǎn)的軌跡是
 
，
其方程是：
 
．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），它的左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2，P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．請(qǐng)你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

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圖4是一個(gè)單擺的振動(dòng)圖像,據(jù)圖像回答下列問題:

圖4

(1)單擺振幅多大;

(2)振動(dòng)頻率多高;

(3)擺球速度首次具有最大負(fù)值的時(shí)刻和位置;

(4)擺球運(yùn)動(dòng)的加速度首次具有最大負(fù)值的時(shí)刻和位置;

(5)若當(dāng)g=9.86 m/s2,求擺線長(zhǎng).

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精英家教網(wǎng)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=
2
2
，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

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正方體ABCD-A1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=
1
2
，則三棱錐A-BEF的體積為
2
24
2
24
．

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16、如圖是一回形圖，其回形通道的寬和OB的長(zhǎng)均為1，回形線與射線OA交于A1、A2、A3…．若從O點(diǎn)到A1點(diǎn)的回形線為第1圈（長(zhǎng)為7），從A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的回形線為第2圈，從A2點(diǎn)到A3點(diǎn)的回形線為第3圈，…，依此類推，則第10圈的長(zhǎng)為
79
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案