類型Ⅴ:設(shè)二次函數(shù)ƒ(x)=ax2+bx+c-x=0的兩個(gè)根x1.x2滿足0<x1<x2<. (Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時(shí).證明X<ƒ(x)<x1. 的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱.證明x0< . 解題思路: 本題要證明的是x<ƒ<x1和x0< .由題中所提供的信息可以聯(lián)想到:①ƒ(x)=x.說(shuō)明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),②方程ƒ(x)-x=0可變?yōu)閍x2+(b-1)x+1=0.它的兩根為x1,x2.可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式.因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式.輔之以不等式的推導(dǎo).現(xiàn)以思路②為例解決這道題: (Ⅰ)先證明x<ƒ=ƒ(x)-x.因?yàn)閤1,x2是方程ƒ=ax2+bx+c.所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2) 因?yàn)?<x1<x2,所以,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí), x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a＞0,因此ƒ-x＞0.至此,證得x<ƒ(x) 根據(jù)韋達(dá)定理,有 x1x2= ∵ 0＜x1＜x2<.c=ax1x2<x=ƒ(x1), 又c=ƒ<ƒ(x1), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì).曲線y=ƒ(x)是開口向上的拋物線.因此.函數(shù)y=ƒ(x)在閉區(qū)間[0.x1]上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x1處達(dá)到.而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到.由于ƒ(x1)>ƒ(0).所以當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)ƒ(x)<ƒ(x1)=x1. 即x<ƒ(x)<x1 b2 4a =ax2+bx+c=a(x+-)2+ 函數(shù)ƒ(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=- ,且是唯一的一條對(duì)稱軸.因此.依題意.得x0=-.因?yàn)閤1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根.根據(jù)違達(dá)定理得.x1+x2=-.∵x2-<0. ∴x0=-=(x1+x2-)<,即x0=. 二次函數(shù).它有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的冪函數(shù).可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì).可以建立起函數(shù).方程.不等式之間的聯(lián)系.可以偏擬出層出不窮.靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì).特別是能從解答的深入程度中.區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣.本文只討論至此.希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí).使我們對(duì)它的研究更深入. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值1，且f(0)=
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．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，使x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實(shí)數(shù)m，n；若不存在，則說(shuō)明理由．

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設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）求x2-x1的取值范圍；
（Ⅲ）如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＜0，證明：m+1＞x2．

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設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不論α，β為何實(shí)數(shù)恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函數(shù)f（sinα）的最大值為8，求b的值．

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設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x1和x2滿足0＜x1＜x2＜1．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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（2014•長(zhǎng)寧區(qū)一模）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）證明：當(dāng)an∈(0，
1
2
)時(shí)，數(shù)列{an}在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；
（3）已知a1=
1
3
，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．

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