題目列表(包括答案和解析)
(本小題共13分)
已知集合對于,,定義A與B的差為
A與B之間的距離為
(Ⅰ)證明:,且;
(Ⅱ)證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
(Ⅲ) 設(shè)P,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).
證明:(P)≤.
(考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效)
已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.
【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進(jìn)行證明。
先反設(shè),然后推理論證,最后退出矛盾。證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,
則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.顯然不成立。
證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,
則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①
由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假設(shè)不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.
已知均為實數(shù),且,
求證:中至少有一個大于。
【解析】利用反證法的思想進(jìn)行證明即可。首先否定結(jié)論假設(shè)a,b,c都不大于0然后在假設(shè)的前提下,即,得,而,即,與矛盾從而得到矛盾,假設(shè)不成立。
方式 | 實施地點 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 摸擬試驗總次數(shù) |
A | 甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨摸擬試驗,準(zhǔn)備用三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨,其試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
方式 |
實施地點 |
大雨 |
中雨 |
小雨 |
摸擬試驗總次數(shù) |
甲 |
4次 |
6次 |
2次 |
12次 |
|
乙 |
3次 |
6次 |
3次 |
12次 |
|
丙 |
2次 |
2次 |
8次 |
12次 |
假設(shè)甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響.
(Ⅰ)求甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率;
(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即能達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才能達(dá)到理想狀態(tài),丙地只要是小雨或中雨就能達(dá)到理想狀態(tài),求甲、乙、丙三地中至少有兩地降雨量達(dá)到理想狀態(tài)的概率.
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