題目列表(包括答案和解析)
以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸為對稱軸的拋物線C與直線x-y+k=0相交于點(diǎn)P(1,3)求:
(1)拋物線C的方程;
(2)以直線l被拋物線C所截得的弦為直徑的圓的方程.
(1)試求m的值,并分別寫出x′和y′用x、y表示的關(guān)系式;
(2)將(x,y)作為點(diǎn)P的坐標(biāo),(x′,y′)作為點(diǎn)Q的坐標(biāo),上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換:它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q.
當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí),試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程.
(3)是否存在這樣的直線:它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在c 該直線上?若存在,試求出所有這些直線;若不存在,則說明理由.
(08年重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考一理) 以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①平面內(nèi)到定點(diǎn)A(1,0)和定直線l:x=2的距離之比為的點(diǎn)的軌跡方程是:
②點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是A(3,6),則
|PA|+|PM|的最小值是6;
③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)λ(λ>0)的點(diǎn)的軌跡是圓;
④若過點(diǎn)C(1,1)的直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B,且C是AB的中點(diǎn),則直線l的方程是3x+4y-7=0:
其中真命題的序號是 (寫出所有真命題的序號)
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
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