三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

【解析】第一問(wèn)利連結(jié)，，∵M(jìn),N是AB，的中點(diǎn)∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∴四邊形是正方形．∴．∴．連結(jié)，．

∴，又N中的中點(diǎn)，∴．

∵與相交于點(diǎn)C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到結(jié)論。

⑴連結(jié)，，∵M(jìn),N是AB，的中點(diǎn)∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，

∴四邊形是正方形．∴．

∴．連結(jié)，．

∴，又N中的中點(diǎn)，∴．

∵與相交于點(diǎn)C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．

 

已知橢圓+y²=1(a≥2),直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),連結(jié)OM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C.

(1)設(shè)直線AB與直線OM的斜率分別為k₁、k₂,且k₁·k₂=,求橢圓的離心率;

(2)若直線AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F,且四邊形OACB是平行四邊形,求直線AB斜率的取值范圍.

如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點(diǎn)，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問(wèn)題的運(yùn)用。第一問(wèn)中，

易知，面。由此知：從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點(diǎn)，可以得證。

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連。面面且相交于，面內(nèi)的直線，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點(diǎn)，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

 

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．