19.得分評(píng)卷人 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分13分)

已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項(xiàng).

(1) 求函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積

(3) 求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

 

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(本小題滿分13分)

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)(p,q),離心率其中p,q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差。

 (1)求橢圓C的方程;

 (2)設(shè)直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為。①試建立的面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系;②莆田十中高三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組通過試驗(yàn)操作初步推斷:“當(dāng)m變化時(shí),直線與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)”。你認(rèn)為此推斷是否正確?若正確,請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不正確,請(qǐng)說明理由。

 

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(本小題滿分13分)

某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出,有一萬人參加,每人一張門票,每張100元. 在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng).第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張,其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品,并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng).第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕,電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù),,),隨即按如右所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金;若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng).

(Ⅰ)已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中,求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率;

(Ⅱ)若小葉參加了此次活動(dòng),求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望;

(Ⅲ)若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外,不計(jì)其它支出,該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款.問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).

 

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(本小題滿分13分)

隨機(jī)變量X的分布列如下表如示,若數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,則稱隨機(jī)變量X服從等比分布,記為Q(,).現(xiàn)隨機(jī)變量X∽Q(,2).

X

1

2

n

(Ⅰ)求n 的值并求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX;

(Ⅱ)一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,…,n且質(zhì)地相同的標(biāo)簽若干張,從中任取1張標(biāo)簽所得的標(biāo)號(hào)為隨機(jī)變量X.現(xiàn)有放回的從中每次抽取一張,共抽取三次,求恰好2次取得標(biāo)簽的標(biāo)號(hào)不大于3的概率.

 

 

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(本小題滿分13分)

橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為M,拋物線在點(diǎn)M處的切線過橢圓的右焦點(diǎn)F.

(Ⅰ)若M,求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)求橢圓離心率的取值范圍.

 

 

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.A    2.A    3.B    4.B    5.C    6.D    7.B    8.B

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.-     10.5       11.2,     12.12           13.26      14.-

注:兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得2分,第二個(gè)空填對(duì)得3分.

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

15.(本小題滿分13分)

(Ⅰ)解:f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx+1=sin2x+cos2x+1

=2sin+1.  ……………………………………………5分

因此f(x)的最小正周期為,最小值為-1.……………………………7分

(Ⅱ)由f()=2得2 sin+1=2,即sin. ………9分

而由得2+.……………………………10分

故2+.…………………………………………………………12分

解得. ………………………………………………………………13分

16.(本小題滿分13分)

解:(Ⅰ)要得40分,8道選擇題必須全做對(duì),在其余四道題中,有兩道題答對(duì)的概率為,有一道題答對(duì)的概率為,還有一道題答對(duì)的概率為,所以得40分的概率為

P=×××. ………………………………………………5分

(Ⅱ)依題意,該考生得分的取值是20,25,30,35,40,得分為20表示只做對(duì)了四道題,其余各題都做錯(cuò),故求概率為P(=20)=×××;

同樣可求得得分為25分的概率為

                                   P(=25)=××××+×××+×××

得分為30分的概率為P(=30)=;

得分為35分的概率為,P(=35)=

得分為40分的概率為P(=40)=

于是的分布列為

 

20

25

30

35

40

P

 

………………………………………………………………………………11分

故E=20×+25×+30×+35×+40×

該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為  ………………………………………13分

17.(本小題滿分14分)

解法一:

(Ⅰ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1底面

ABC,BC1在底面上的射影為CB.

由AC=3,BC=4,AB=5,可得ACCB.

所以ACBC1………………………4分

(Ⅱ)過C作CEAB于E,連結(jié)C1E.

由CC1底面ABC可得C1EAB.

故∠CEC1為二面角C1-AB-C的平面角.

ABC中,CE=,

             在RtCC1E中,tanC1EC=,

故所求二面角的大小為arctan.……9分

(Ⅲ)存在點(diǎn)D使AC1∥平面CDB1,且D為AB中點(diǎn),下面給出證明.

設(shè)BC1與CB1交于點(diǎn)O,則O為BC1中點(diǎn).連接OD.

在△ABC1中,D,O分別為AB,BC1的中點(diǎn),故OD為△ABC1的中位線,

∴OD∥AC1,又AC1平面CDB1,OD平面CDB1,

∴AC1∥平面CDB1

故存在點(diǎn)D為AB中點(diǎn),使AC1∥平面CDB1. ………………………………14分

  解法二:

∵直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,

∴AC,BC,CC1兩兩垂直.如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則

C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).

(Ⅰ)∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),

?=0,故ACBC1   ………………………………………………4分

(Ⅱ)平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1AB的一個(gè)法向量為             n=(x0,y0,z0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(-3,0,4),=(-3,4,0).

令x0=4,則z0=3,y0=3.

則n=(4,3,3).

故cos<m,n>=

所求二面角的大小為arccos.   ………………………………………9分

(Ⅲ)同解法一   ………………………………………………………………………4分

18.(本小題滿分13分)

解:(Ⅰ)依題意有,f ′(x)=a+.……………………………………………3分

因此過(1,f(1))點(diǎn)的直線的斜率為a-1,又f(1)=a,

所以,過(1,f(1))點(diǎn)的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).…………4分

又已知圓的圓心為(-1,0),半徑為1,依題意,=1.

解得a=1. …………………………………………………………………6分

(Ⅱ)f ′(x)=a+.

因?yàn)閍>0,所以2-<2,又由已知x<2.………………………………9分

令f ′(x)>0,解得x<2-,令f ′(x)<0,解得2-<x<2. …11分

所以,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是

f(x)的單調(diào)減區(qū)間是.………………………………………13分

19.(本小題滿分13分)

解:(Ⅰ)由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0,-),故設(shè)橢圓方程為+=1.

將點(diǎn)A(1,)代入方程得+=1,整理得a4-5a2+4=0,

解得a2=4或a2=1(舍).

故所求橢圓方程為+=1. …………………………………………6分

(Ⅱ)設(shè)直線BC的方程為y=x+m,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得4x2+2mx+m2-4=0,   …………………………9分

=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得m2<8.

由x1+x2=-m,x1x2,

又點(diǎn)A到BC的距離為d=, …………………………………………11分

?d=?

當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=±2時(shí)取等號(hào)(滿足>0)

所以△ABC面積的最大值為. ………………………………………13分

20.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)依題意有yn+,于是yn+1-yn

所以數(shù)列是等差數(shù)列. ………………………………………………4分

(Ⅱ)由題意得=n,即xn+xn+1=2n,(n∈N*)①

所以又有xn+2+ xn+1=2(n+1).                 ②……………………6分

由②-①得xn+2-xn=2,可知x1,x3,x5,…;x2,x4,x6,…都是等差數(shù)列.那么得

x2k-1=x1+2(k-1)=2k+a-2,

x2k=x2+2(k-1)=2-a+2(k-1)=2k-a.(k∈N*

故xn  ……………………………………………10分

(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An(n+a-1,0),An+1(n+1-a,0),所以=2(1-a);

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An(n-a,0)An+1(n+a,0),所以=2a;

作BnCnx軸,垂足為Cn,則+,要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形,必須且只需=2.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有2(1-a)=2,即12a=11-3n.     ①

當(dāng)n=1時(shí),a=;當(dāng)n=3時(shí),a=;當(dāng)n≥5時(shí),①式無解.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有12a=3n+1,同理可求得a=

綜上所述,上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形,此時(shí)a的值為.  ………………………………………………………………………14分

 


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