題目列表(包括答案和解析)
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在點(diǎn)(1,
)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使
>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)
時(shí),
又
所以函數(shù)
在點(diǎn)(1,
)的切線方程為
;(2)中令
有
對a分類討論,和
得到極值。(3)中,設(shè)
,
,依題意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí),
又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,
)的切線方程為
--------4分
(Ⅱ)令 有
①
當(dāng)即
時(shí)
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
,極小值是
②
當(dāng)即
時(shí),
在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則
的極大值為
,無極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為
,無極小值
時(shí) 極大值是
,極小值是
----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或
(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(
,
)
已知遞增等差數(shù)列滿足:
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(2)若不等式對任意
恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為
,
由題意可知,即
,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價(jià)于
,利用當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為
,由題意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
而,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式對任意
恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),
,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式
成立,
當(dāng)時(shí),
,
…………10分
只要證 ,只要證
,
只要證 ,只要證
,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
, …………10分
, …………12分
所以對,都有
,可知數(shù)列
為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以
恒成立,
故的最小值為
.
已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為
,且不等式
的解集為
,
(1)若方程有兩個(gè)相等的根,求
的解析式;
(2)若的最大值為正數(shù),求
的取值范圍.
【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
設(shè)出二次函數(shù)的解析式,然后利用判別式得到a的值。
第二問中,
解:(1)∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
①
由方程
②
∵方程②有兩個(gè)相等的根,
∴,
即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5
a=-1/5代入①得:
(2)由
由 解得:
故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是
在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 與bn;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}滿足
,求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的運(yùn)用。第一問中,利用等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,,可得
,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項(xiàng)公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二問中,
,由第一問中知道
,然后利用裂項(xiàng)求和得到Tn.
解: (Ⅰ) 設(shè):{an}的公差為d,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image003.png">解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120143914538050_ST.files/image004.png">……………8分
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