已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+

3

和2-

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)

1

a2

+

1

b2

的值．

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已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)作直 線的垂線交橢圓于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，過(guò)作動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，試證明點(diǎn)恒在一定直線上．

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說(shuō)明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.

1. A   2. D   3. C   4. C   5. B   6. D   7. B   8. A   9. C   10. D   11. B   12. C

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.

13.         14.          15.          16.

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17. 本題主要考查三角函數(shù)的基本公式，考查運(yùn)算能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）在中，因?yàn)?sub>，

所以.   ……………………………（3分）

所以

.  …………………………（6分）

（Ⅱ）根據(jù)正弦定理得：，

所以. ……………………………（9分）

所以

. ………………………………………………………（12分）

18．本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想像能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能

力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，

因?yàn)镚是等邊三角形ABE的邊AE的中點(diǎn)，所以BG⊥AE，……………（2分）

所以

　　　　　．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）取DE中點(diǎn)M，連結(jié)MG、FM，

因?yàn)镸G  AD，BF  AD，所以MG　BF，

四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG//FM.（6分）

又因?yàn)镕M平面EFD，BG平面EFD，

所以BG//平面EFD.         ………………（8分）

（Ⅲ）因?yàn)镈A⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）

　　　又BG⊥AE，ADAE＝A，

　　　所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）

　　　所以BG⊥AP.    ……………………………………………………………（12分）

19. 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及推理能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列的公差為，依題意得：  ………（2分）

解得：  ………………………………………………………（4分）

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.   ………………………………（6分）

（Ⅱ）依題意得：………………（9分）

.  ………（12分）

20. 本題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，考查應(yīng)用意識(shí). 滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為P，依題意有：

.

答：每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為0.02.  ………………………………………（4分）

（Ⅱ）設(shè)24名筆試者中有x名可以進(jìn)入面試，依樣本估計(jì)總體可得：

　　  ，解得：，從表中可知面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分.

答：可以預(yù)測(cè)面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分.  ……………………………………（8分）

（Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,

(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15種.

選派一男一女參加某項(xiàng)培訓(xùn)的種數(shù)有:

     (a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8種

所以選派結(jié)果為一男一女的概率為.

答：選派結(jié)果為一男一女的概率為.       …………………………………（12分）

21．本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力. 滿分12分

解：（Ⅰ）由已知得，,所以

又，所以，橢圓C的方程為   ………（3分）

因?yàn)?sub>，所以，可求得或，…（5分）

所以的外接圓D的方程是或．

………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）得，，

可得，所以．…………………………………（8分）

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，顯然，

則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，

將代入方程，并化簡(jiǎn)得：

    ……………………………………（9分）

可得：，，     ……………………（10分）

所以

．

綜上，．  ………………………………………………………（12分）

22．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)

數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?sub>.    …………………………………（1分）

當(dāng)時(shí)，，

.    ………………………………（2分）

令，解得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減. ……………………………（3分）

所以的極大值為，此即為最大值 . ……………………（4分）

（Ⅱ），

所以，在上恒成立，………………（6分）

所以 ，…………………………………（7分）

當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以． ………………（9分）

（Ⅲ）因?yàn)榉匠?sub>有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解．設(shè)，則.

令，得．

因?yàn)?sub>，

所以（舍去），， ………（10分）

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，取最小值.  ……………………（11分）

因?yàn)?sub>有唯一解，所以．

則，即

所以，

因?yàn)?sub>，所以． …………………………（12分）

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．  ………（13分）

因?yàn)?sub>，所以方程的解為，即，

解得                ……………………………………………（14分）

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