Question

已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過作直  線的垂線交橢圓于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；

（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，試證明點(diǎn)恒在一定直線上．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關(guān)系列出方程組，解得的值；（2）由右準(zhǔn)線方程設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直的充要條件得，表達(dá)出，將點(diǎn)代入橢圓中，即，代入中，化簡得常數(shù)；（3）設(shè)出點(diǎn)，代入橢圓方程中，設(shè)，由得向量關(guān)系，得到與的關(guān)系，據(jù)與及與系數(shù)比為2:3，得在直線.

試題解析：（1）由題意可得，解得，，,

所以橢圓：．                                   2分

（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為，

設(shè)，

因?yàn)镻F₂⊥F₂Q，所以，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110300473024332101/SYS201311030048598987749876_DA.files/image027.png">且代入化簡得．

即直線與直線的斜率之積是定值．                      7分.

（3）設(shè)過的直線l與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，點(diǎn)

，則，．

設(shè)，則，

∴，，

整理得，，，

∴從而，

由于，，∴我們知道與的系數(shù)之比為2：3，與的系數(shù)之比為2：3．

∴，

所以點(diǎn)恒在直線上．                                  13分

考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.離心率的定義；3.垂直的充要條件.