（本題滿分16分）已知雙曲線，順次連接其實(shí)軸、虛軸端點(diǎn)所得四邊形的面積為8，

（1）求雙曲線焦距的最小值，并求出焦距最小時(shí)的雙曲線方程；

（2）設(shè)A、B是雙曲線上關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上另外一點(diǎn)，若直線PA、PB的斜率乘積等于，求雙曲線方程。

如圖，點(diǎn)、、是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，、和、分別是“果圓”與、軸的交點(diǎn).

（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

    （2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；

（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說(shuō)明理由.

(2007上海，21)我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中，a＞0，b＞c＞0．如下圖，點(diǎn)是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，分別是“果圓”與x、y軸的交點(diǎn)．

(1)若△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；

(3)連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦．試研究：是否存在實(shí)數(shù)k，使斜率為k的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說(shuō)明理由．