在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁C₁C所成的角為α，則sinα=

19．解：（1）連接B₁D₁，ABCD―A₁B₁C₁D₁為四棱柱，

，

則在四邊形BB₁D₁D中（如圖），

得△D₁O₁B₁≌△B₁BO，可得∠D₁O₁B₁=∠OBB₁=90°，

即D₁O₁⊥B₁O

   （2）解法一：連接OD₁，△AB₁C，△AD₁C均為等腰

三角形，

且AB₁=CB_1­，AD₁=CD₁，所有OD₁⊥AC，B₁O⊥AC，

顯然：∠D₁OB₁為所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

由：OD₁=OB₁=B₁D=2知

解法二：由ABCD―A₁B₁C₁D₁為四棱柱，得面BB₁D₁D⊥面ABCD

所以O(shè)₁D₁在平面ABCD上的射影為BD，由四邊形ABCD為正方形，AC⊥BD，由三垂線定理知，O₁D₁⊥AC。可得D₁O₁⊥平面AB₁C。

又因?yàn)锽₁O⊥AC，所以∠D₁OB₁所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

20．解：（1）曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線的距離小1，

可得|MF|等于M到y(tǒng)=-1的距離，由拋物線的定義知，M點(diǎn)的軌跡為

   （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

    當(dāng)直線m與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線m的方程為

   代入    ①

    恒成立，

    設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為

∴直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)。

則    ②        ③

故直線m的方程為

21．解：（1）由已知得

   （2）

   （3）