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初三(1)班數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料,將它設計成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大.

小組討論后,同學們做了以下三種試驗:                  

 

圖案(1)            圖案(2)              圖案(3)          

請根據(jù)以上圖案回答下列問題:

(1)在圖案(1)中,如果鋁合金材料總長度(圖中所有黑線的長度和)為6米,當AB為1米,

長方形框架ABCD的面積是           m²;

(2)在圖案(2)中,如果鋁合金材料總長度為6米,設AB為米,長方形框架ABCD的面積為Ｓ＝       (用含的代數(shù)式表示)；當AB＝         時米, 長方形框架ABCD的面積Ｓ最大;

在圖案(3)中,如果鋁合金材料總長度為米, 設AB為米,當AB是多少米時, 長方形框架ABCD的面積Ｓ最大.

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初三(1)班數(shù)學興趣小組在社會實踐活動中，進行了如下的課題研究：用一定長度的鋁合金材料,將它設計成外觀為長方形的三種框架，使長方形框架面積最大.

小組討論后,同學們做了以下三種試驗:                  

 

圖案(1)            圖案(2)              圖案(3)          

請根據(jù)以上圖案回答下列問題:

(1)在圖案(1)中,如果鋁合金材料總長度(圖中所有黑線的長度和)為6米,當AB為1米,

長方形框架ABCD的面積是           m²;

(2)在圖案(2)中,如果鋁合金材料總長度為6米,設AB為米,長方形框架ABCD的面積為Ｓ＝       (用含的代數(shù)式表示)；當AB＝         時米, 長方形框架ABCD的面積Ｓ最大;

在圖案(3)中,如果鋁合金材料總長度為米, 設AB為米,當AB是多少米時, 長方形框架ABCD的面積Ｓ最大.

             

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用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架(如圖①②③中的一種)

設豎檔AB＝x米，請根據(jù)以上圖案回答下列問題：(題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行)

(1)在圖①中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積為3平方米？

(2)在圖②中，如果不誘鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

(3)在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

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說明:對于解題過程中有的題目可用多種解法(或多種證明方法),如果考生的解答與參考答案不同,請參照此評分標準酌情給分.

一. 選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

B

D

B

A

D

C

C

評分標準

選對一題給4分，不選，多選，錯選均不給分

二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）

11．X≠6 ；      12． 2；　　　　13．８；           14．  65°；　　　

15．96 ；        16． （0，0），（0，），（0，-3）寫對一個給3分，兩個4分，三個給5分

三、解答題（本題有8小題，共80分）

17. （本題8分）

(1)解：原式＝1＋3－                                     　    …………（3分）

＝                                                　 …………（1分）

(2)解：愿方程可化為：x＝3(x－2 )                            　    …………（2分）

                    x＝3                                  　   …………（1分）

經(jīng)檢驗 ：x＝3 是原方程的解．                            　 …………（1分）

18．（本題8分）

添加條件例舉：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.    　……（2分）

證明例舉（以添加條件AD＝BC為例）：

∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，                   　   　　…………（2分）

∴ △ABC≌△BAD．                                 　      …………（2分）

        ∴ AC=BD．                                        　      …………（2分）

19．（本題8分）

（１）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

 （２）列對表格或畫對樹狀圖；　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

　　　兩次都取到歡歡的概率為．　　　　　　　　　　　　　　　　…………（２分）

20．（本題8分）

答案不唯一．只要符合要求，畫對一個給４分，畫對兩個給８分．　　　　　　　　……（８分）

21．（本題8分）

（１）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=Rt∠．∴sin∠BAC=．   　 ………（3分）

（２）∵OE⊥AC,O是⊙O的圓心, ∴E是AC中點．∴OE＝BC=．   　  …（3分）

（３）∵AC＝=4， ∴tan∠ADC= tan∠ABC=．       　  ……（2分）

22．（本題10分）

（１） 25 ；                                               　 ……………（2分）

（２） 50；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         　……………（2分）

　　　畫對條形統(tǒng)計圖　　　　　　　　　　　　　　　          　……………（2分）

（３）５人；（列對方程得２分，給出答案給２分）　　　　     　 ……………（４分）

23．（本題12分）

（1）；                                               　  ………………（2分）

 （2）－x²＋２x  ，１， ； （每格2分）                　     ……………（６分）

（3）設AB長為m，那么AD為

     S=?=－．　　　　　　　　　　    　    ……………（2分）

　　當＝時，Ｓ最大．　　　　　　　　　　　　　   　    ……………（2分）

24．（本題1４分）

（1）直線AB解析式為：y=x+．                      　     ……………（3分）

（2）方法一：設點Ｃ坐標為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．           　  ………（2分）

由題意： ＝，解得（舍去）　　　　　………（2分）

∴　Ｃ（２，）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　………（１分）

方法二：∵　,＝，∴．…（2分）

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　　………（2分）

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　　　　　　　　　　………（1分）

（３）當∠OBP＝Rt∠時，如圖

      ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．                                           　  ……（2分）

      ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………（１分）

當∠OPB＝Rt∠時

③ 過點P作OP⊥BC于點P(如圖)，此時△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

過點P作PM⊥OA于點M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　……（1分）

方法二：設Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此時，（，）． 　　　 ……（1分）

④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

  　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由對稱性也可得到點的坐標）．…………（2分）

當∠OPB＝Rt∠時，點P在ｘ軸上,不符合要求.

綜合得，符合條件的點有四個，分別是：

（3，），（1，），（，），（，）．

注：四個點中，求得一個Ｐ點坐標給２分，兩個給３分，三個給４分，四個給６分．