如右圖所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

 

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(本小題滿分14分) 如圖3所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點．
（1）求證：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

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（本小題滿分14分）
如右圖所示，四棱錐中，底面為正方形，
平面，，，，分別為

、、的中點．（1）求證：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

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如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．

(1)求證：PA⊥EF；

(2)求二面角D－FG－E的余弦值．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

D

A

D

A

C

B

８．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

則（其中），再利用導數(shù)的方法求解．

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共7小題，每小題5分，滿分30分．

9．760        10．         11．2           12．

13．       14．          15．3

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………8分

根據(jù)正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

17．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查獨立重復試驗等基礎知識，考查或然與必然的數(shù)學思想與方法，以及運算求解能力）

解：（1）設“甲射擊5次，恰有3次擊中目標”為事件A，則

．

答：甲射擊5次，恰有3次擊中目標的概率為．………………………………6分

（2）方法1：設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則

．

答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為．……………………………12分

方法2：設“甲恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于甲恰好射擊5次后被中止射擊，所以必然是最后兩次未擊中目標，第三次擊中目標，第一次與第二次至少有一次擊中目標，則

．

答：甲恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為．……………………………12分

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面關系，二面角及其平面角、坐標方法的運用等基礎知識，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）

（1）證法1：∵平面，平面，∴．

又為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，， ，，，．

…………………………………………………4分

∵，

∴．………………………………………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，．………………………………8分

設平面DFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．…………………………10分

設平面EFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．……………………………12分

∵．

設二面角的平面角為θ，則．

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，，．………………………………8分

過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．…………10分

再過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵與所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

19．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查函數(shù)、微積分基本定理和導數(shù)的應用，考查綜合運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力）

解：（1）函數(shù)的定義域為，…………………………………………………1分

∵，………………………………………2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． ……………………………………………4分

（2）方法1：∵，

∴．…………………………6分

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，……………………9分

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根……12分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是．………………………………14分

方法2：∵，

∴．…………………………6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．……………………9分

∵，，，

又，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根．

                                        ……………………………………12分

即．

綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………14分

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎知識，考查待定系數(shù)法、數(shù)形結合的數(shù)學思想與方法，以及運算求解能力）

解：（1）設點的坐標為，

∵，∴． ………………………………………2分

整理，得（），這就是動點M的軌跡方程．……………………4分

（2）方法1：如圖，由題意知直線的斜率存在，

設的方程為（）  …… ①…………………………………5分

將①代入，

得，

………………6分

由，解得．…………………………………………………………7分

設，，則…… ② ……………………8分

令，則，即，即，且

                                                    ……………………9分

由②得，

即

．……………………………………………11分

且且．

解得且………………………………………………13分

，且．

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……………14分

方法2：如圖，由題意知直線的斜率存在，

設的方程為…… ①…………5分

將①代入，

整理，得，…………6分

由，解得．………………………………………………………………7分

設，，則…… ② ……………………8分

令，且．…………………………………9分

將代入②，得

∴．即．……………………………………11分

∵且，∴且．

即且．

解得且．……………………………………………13分

，且．

故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．……………14分

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查等差數(shù)列、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）當為奇數(shù)時，即恒成立，…………………………………………7分

當且僅當時，有最小值為1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）當為偶數(shù)時，即恒成立，………………………………………10分

當且僅當時，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又為非零整數(shù)，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………………14分