Question

(本小題滿分14分) 如圖3所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點．

（1）求證：；

（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明略；

（2）

【解析】（1）證法1：∵平面，平面，∴．

又為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ，，，．………4分

∵，∴．………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，……………8分

設平面DFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．…………………………10分

設平面EFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．……………………………12分

∵．

設二面角的平面角為θ，則．

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，W

則，，，，，

，，．………………………………8分

過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．………………………………………………10分

再過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵與所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分