2.注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

1.正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開(kāi)式.

[例1]求展開(kāi)所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)

解：

依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，

又，，，構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由得，

故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)

◆提煉方法：有理項(xiàng)的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

[例2]設(shè)a_n=1+q+q²+…+q(n∈N^*，q≠±1)，A_n=Ca₁+Ca₂+…+Ca_n

(1)用q和n表示A_n；

(2)當(dāng)－3<q<1時(shí)，求

解：(1)因?yàn)?i>q≠1，所以a_n=1+q+q²+…+q=

于是A_n= C+ C+…+C

=［(C+C+…+C)－(Cq+Cq²+…+Cqⁿ)］

={(2ⁿ－1)－［(1+q)ⁿ－1］}

=［2ⁿ－(1+q)ⁿ］

(2)=［1－()ⁿ］

因?yàn)椋?<q<1，且q≠－1，所以0<| |<1

所以=

[例3]在二項(xiàng)式(ax^m+bxⁿ)¹²(a＞0，b＞0，m、n≠0)中有2m+n=0，如果它的展開(kāi)式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).

(1)求它是第幾項(xiàng)；(2)求的范圍.

解：(1)設(shè)T=C(ax^m)^12－r·(bxⁿ)^r=Ca^12－rb^rx^m(12－r)+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m(12－r)+nr=0，即m(12－r)－2mr=0，∴r=4，它是第5項(xiàng).

(2)∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，

Ca⁸b⁴≥Ca⁷b⁵.　 　　　　　 ②

由①得a⁸b⁴≥a⁹b³，

∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.

由②得≥，∴≤≤.

[例4]己知

(1)

(2)

證明：(1)

同理

(2)由二項(xiàng)式定理有

因此

。

[研討.欣賞]求證：2<(1+)ⁿ<3(n≥2，n∈N^*).

證明：(1+)ⁿ=C+C× +C()²+…+C()ⁿ

=1+1+C×+C×+…+C×

=2+×+×+…+×

<2++++…+<2++++…+

=2+=3－()<3.

顯然(1+)ⁿ=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<(1+)ⁿ<3.

5. －160; 　6. ;　 　7. ;　 　8. 35; 　　9. ;　

10:設(shè) f (x) ＝ (+x) ¹⁰ ，則(a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ²

＝[(a₀ + a₂ + … + a₁₀) +(a₁ + a₃ + … + a₉) ]·[(a₀ + a₂ + … + a₁₀)－(a₁ + a₃ + … + a₉) ]

＝f (1)· f (－1) ＝ (+1)¹⁰ (－1) ¹⁰＝1

4.

= ∴;

10. 設(shè) (+x) ¹⁰ ＝ a₀ + a₁ x + a₂ x ² + … + a₁₀ x ¹⁰，則 (a₀ + a₂ + a₄ + … + a₁₀) ²－(a₁ + a₃ + a₅ + … + a₉) ² 的值為 　　　　　�。�

◆練習(xí)簡(jiǎn)答: 1-4.ABDD; 2.x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，∴只需賦值x=－1;

9．(2005天津)設(shè),則　　　　 .

8．(2005湖南)在(1+x)+(1+x)²+……+(1+x)⁶的展開(kāi)式中，x ²項(xiàng)的系數(shù)是　　.(用數(shù)字作答)

7.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含的奇次冪的項(xiàng)之和為,當(dāng)時(shí), 等于______;

6.(2005湖北)的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為　　　 .