4.二面角－－內(nèi)一點(diǎn)P，分別作兩個(gè)面的垂線PA、PB，A、B為垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距離．

3．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB和AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A₁到平面EFB₁D₁的距離為　　　　　　　

2．異面直線a , b所成的角為，過(guò)空間一定點(diǎn)P，作直線，使與a ,b 所成的角均為，這樣的直線有　　　　 條.

1．在平面角為60⁰的二面角內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱的距離為_(kāi)___________.

[例1]　平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P，且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi)________________.

錯(cuò)解：.

錯(cuò)因：只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況.

正解：　 .

[例2]與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有______個(gè).

錯(cuò)解：4個(gè).

錯(cuò)因：只分1個(gè)點(diǎn)與3個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).沒(méi)有考慮2個(gè)點(diǎn)與2個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).

正解：7個(gè).

[例3]一個(gè)盛滿水的三棱錐形容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來(lái)水的(　　　 )

A.　 　　B.　 　　C. 　　 D.　

錯(cuò)解：A、B、C.由過(guò)D或E作面ABC的平行面，所截體計(jì)算而得.

正解：D.

當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多

最多可盛原來(lái)水得1－

[例4]斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA₁與底面相鄰兩邊AB、AC都成45⁰角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.

錯(cuò)解：一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過(guò)BC作平面與AA₁垂直于M”；三是由條件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證.

正解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AA₁于M，連結(jié)CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA為公共邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周長(zhǎng)為2xa+a=(1+)a，且棱長(zhǎng)為b，∴S_側(cè)=(1+)ab

[例5]已知CA⊥平面α，垂足為A；AB α，BD⊥AB，且BD與α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點(diǎn)間的距離.

解　: 本題應(yīng)分兩種情況討論：

(1)如下左圖.C，D在α同側(cè)：過(guò)D作DF⊥α，垂足為F.連BF，則于是.

根據(jù)三垂線定理BD⊥AB得BF⊥AB.

在Rt△ABF中，AF=

過(guò)D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故

CD=

(2)如上右圖.C，D在α兩側(cè)時(shí)：同法可求得CD=

點(diǎn)　評(píng): 本題是通過(guò)把已知量與未知量歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中，應(yīng)用勾股定理來(lái)求解.

[例6]如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.

(1)試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；

(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于.

并證明你的結(jié)論.

解：解法一(1)連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)?/p>

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.

(2)可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A_IC_I的中點(diǎn)O₁，因?yàn)?/p>

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據(jù)三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以

又由知，為平面的一個(gè)法向量。

設(shè)AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為。

(2)若在A₁C₁上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則Q(x，1－，1)，。依題意，對(duì)任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，等價(jià)于D₁Q⊥AP即Q為A₁C₁的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求。

[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PAD是正三角形，且PA⊥AB，

求：(1)平面PBC和平面PAD所成二面角的大��；

(2)D點(diǎn)到平面PBC的距離．

解: (1)設(shè)AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設(shè)條件得PA=AD=AE，則∠EPD=90°，PD⊥PE

又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．

∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．

由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．

(2)由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，

因此平面PDC⊥平面PBC，

作DH⊥PC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離．

在Rt△PDC中，，DC=2，，．

平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.

[例8] 半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B和A與C的球面距離都是，B與C的球面距離是，求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面到球心O距離．

分析�。� 轉(zhuǎn)化為以球心O為頂點(diǎn)，△ABC為底面的三棱錐問(wèn)題解決．

由題設(shè)知△OBC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△AOB和△AOC是腰長(zhǎng)為1的全等的等腰三角形．

取BC中點(diǎn)D，連AD、OD，易得BC⊥面AOD，進(jìn)而得面AOD⊥面ABC，過(guò)O作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長(zhǎng)即為

所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=

點(diǎn)評(píng)： 本題若注意到H是△ABC的外心，可通過(guò)解△ABC和△AHO得OH．或利用體積法．

5．要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.

4．球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長(zhǎng)，關(guān)鍵在于畫(huà)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓以及小圓.

3．空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.求點(diǎn)到平面距離時(shí)，可先找出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影(可用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì))，也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得

2．求二面角大小時(shí)，關(guān)鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.

1．求空間角的大小時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來(lái)求，具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一個(gè)內(nèi)角.