題型1：算法概念

例1．下列說法正確的是(　 )

A．算法就是某個(gè)問題的解題過程；

B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；

C．解決某一個(gè)具體問題算法不同結(jié)果不同；

D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實(shí)施。

解析：答案為選項(xiàng)B；選項(xiàng)B，例如：判斷一個(gè)整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項(xiàng)A ，算法不能等同于解法；選項(xiàng)C，解決某一個(gè)具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造的有問題；選項(xiàng)D，算法可以為很多次，但不可以無限次。

點(diǎn)評(píng)：算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算。只要按部就班去做，總能算出結(jié)果。通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”。數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來完成；實(shí)際上處理任何問題都需要算法。如：中國(guó)象棋有中國(guó)象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；而國(guó)際象棋有國(guó)際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；再比如申請(qǐng)出國(guó)有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……。

例2．下列語句中是算法的個(gè)數(shù)為(　 )

①從濟(jì)南到巴黎：先從濟(jì)南坐火車到北京，再坐飛機(jī)到巴黎；

②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；

③測(cè)量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；

④已知三角形的一部分邊長(zhǎng)和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積.

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　 　　　D．4

解析：正確選項(xiàng)為C，③中我們對(duì)“樹的大小”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法完成任務(wù)，不是有效的算法構(gòu)造。①中，勾畫了從濟(jì)南到巴黎的行程安排，完成了任務(wù)；②中，節(jié)約時(shí)間，燒水泡茶完成了任務(wù)；④中，純數(shù)學(xué)問題，借助正、余弦定理解三角形，進(jìn)而求出三角形的面積。

點(diǎn)評(píng)：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結(jié)果.

題型2：經(jīng)典算法

例3．一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會(huì)吃羚羊。該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過河？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法？

解析：任何動(dòng)物同船不用考慮動(dòng)物的爭(zhēng)斗但需考慮承載的數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動(dòng)物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢(shì)，具體算法如下：

算法步驟：

第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回；

第二步：人帶一只狼過河，自己返回；

第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回；

第四步：人帶一只羊過河，自己返回；

第五步：人帶兩只狼過河.

點(diǎn)評(píng)：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)�。這就要求我們?cè)趯懰惴〞r(shí)應(yīng)精練、簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多較復(fù)雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計(jì)算法的時(shí)候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問題變得簡(jiǎn)單，而且可以提高工作效率。

例4．這是中國(guó)古代的一個(gè)著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？

解析：求解雞兔的問題簡(jiǎn)單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應(yīng)用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題.

第一步：設(shè)有小雞x只，小兔y只，則有

第二步：將方程組中的第一個(gè)方程兩變乘－2加到第二個(gè)方程中去，得到，得到y(tǒng)=7；

第三步：將y=7代入(1)得x=10。

點(diǎn)評(píng)：解決這些問題的基本思想并不復(fù)雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非常多，有的計(jì)算量很大，有時(shí)候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計(jì)算機(jī)的長(zhǎng)處，它能不厭其煩的枯燥的、重復(fù)的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。

題型3：順序結(jié)構(gòu)

例5．寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個(gè)5等分點(diǎn)的算法。

解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務(wù).

算法分析：

第一步：從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP；

第二步：在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC；

第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC；

第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC；

第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC；

第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB；

第七步：連接DB；

第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn)。

程序框圖：

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)算法步驟具有一般性，對(duì)于任意自然數(shù)n，都可以按照這個(gè)算法的思想，設(shè)計(jì)出確定線段的n等分點(diǎn)的步驟，解決問題。

例6．有關(guān)專家建議，在未來幾年內(nèi)，中國(guó)的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費(fèi)品的價(jià)格增長(zhǎng)率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價(jià)格是10 000元，請(qǐng)用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價(jià)格變化情況，并輸出四年后的價(jià)格.

解析：用P表示鋼琴的價(jià)格，不難看出如下算法步驟：

2005年P(guān)=10000×(1+3%)=10300；

2006年P(guān)=10300×(1+3%)=10609；

2007年P(guān)=10609×(1+3%)=10927.27；

2008年P(guān)=10927.27×(1+3%)=11255.09；

因此，價(jià)格的變化情況表為：

程序框圖為：

點(diǎn)評(píng)：順序結(jié)構(gòu)只須嚴(yán)格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學(xué)問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細(xì)化”就可以�！凹�(xì)化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖.

題型4：條件結(jié)構(gòu)

例7．設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，并畫出相應(yīng)的程序框圖。

解析：算法步驟如下：

第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c；

第二步：計(jì)算△的值；

第三步：判斷△≥0是否成立。若△≥0成立，輸出“方程有實(shí)根”；否則輸出“方程無實(shí)根”。結(jié)束算法。

相應(yīng)的程序框圖如下：

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計(jì)算判別式△的值。再分成兩種情況處理：(1)當(dāng)△≥0時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)△＜0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)根。該問題實(shí)際上是一個(gè)分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結(jié)果就不同。因而當(dāng)給出一個(gè)一元二次方程時(shí)，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結(jié)構(gòu)是辦不到的，要對(duì)判別式的值進(jìn)行判斷，需要用到條件結(jié)構(gòu).

(2009年廣東卷文)某籃球隊(duì)6名主力隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球個(gè)數(shù)如下表所示：

隊(duì)員i	1	2	3	4	5	6
三分球個(gè)數(shù)

下圖(右)是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應(yīng)填　　　 　，輸出的s=　　　

(注：框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫成“←”或“：=”)

[解析]順為是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，所圖中判斷框應(yīng)填，輸出的s=.

答案　 ,

例8．(1)設(shè)計(jì)算法，求的解，并畫出流程圖。

解析：對(duì)于方程來講，應(yīng)該分情況討論方程的解.

我們要對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)a和常數(shù)項(xiàng)b的取值情況進(jìn)行分類，分類如下：

(1)當(dāng)a≠0時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)解是；

(2)當(dāng)a=0，b=0時(shí)，全體實(shí)數(shù)都是方程的解；

(3)當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無解.

聯(lián)想數(shù)學(xué)中的分類討論的處理方式。可得如下算法步驟：

第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結(jié)果“解為”；

第二步：判斷a=0，b=0是否同時(shí)成立。若成立，輸出結(jié)果“解集為R”；

第三步：判斷a=0，b≠0是否同時(shí)成立。若成立，輸出結(jié)果“方程無解”，結(jié)束。

程序框圖：

(2)。設(shè)計(jì)算法，找出輸入的三個(gè)不相等實(shí)數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。

解析：算法步驟：

第一步：輸入a，b，c的值；

第二步：判斷a>b是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步；

第三步：判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束；

第四步：判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b，并結(jié)束；否則輸出c，并結(jié)束。

程序框圖：

點(diǎn)評(píng)：條件結(jié)構(gòu)嵌套與條件結(jié)構(gòu)疊加的區(qū)別是：

(1)條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時(shí)需依次對(duì)“條件1”、“條件2”、“條件3”……都進(jìn)行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對(duì)應(yīng)的操作.

(2)條件結(jié)構(gòu)的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個(gè)分支，“條件3”是“條件2”的一個(gè)分支，……依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。

(3)條件結(jié)構(gòu)嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”……是在前面的所有條件依次一個(gè)一個(gè)的滿足“分支條件成立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個(gè)條件同時(shí)成立的疊加和復(fù)合。

題型5：循環(huán)結(jié)構(gòu)

例9．設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求的值，并劃出程序框圖。。

解析：算法步驟：

第一步：sum=0；

第二步：i=0；

第三步：sum=sum+2ⁱ；

第四步：i=i+1；

第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結(jié)束；否則返回第三步重新執(zhí)行。

程序框圖：

點(diǎn)評(píng)：

1．如果算法問題里涉及的運(yùn)算進(jìn)行了許多次重復(fù)的操作，且先后參與運(yùn)算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運(yùn)算(我們稱之為循環(huán)變量)，應(yīng)用于循環(huán)結(jié)構(gòu)。在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件設(shè)計(jì)合理的計(jì)數(shù)變量、累加和累乘變量及其個(gè)數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當(dāng)、精確.

3．幾種重要的結(jié)構(gòu)

(1)順序結(jié)構(gòu)

順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

見示意圖和實(shí)例：

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。

(2)條件結(jié)構(gòu)

如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個(gè)條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個(gè)判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框(A框、B框)。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個(gè)是空的，即不執(zhí)行任何操作.

見示意圖

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)

在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。即從算法某處開始，按照一定條件重復(fù)執(zhí)行某一處理過程。重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。

循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。

①當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時(shí)為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。

②直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件P時(shí)成立為止，此時(shí)不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

見示意圖

1．算法的概念

(1)算法的定義：廣義的算法是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等。

在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

(2)算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無誤、“不重不漏”�！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務(wù)。②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時(shí)所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制的持續(xù)進(jìn)行。

(3)算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言.

算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，本章的重點(diǎn)是算法的概念和算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)。

預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點(diǎn)是算法的概念.

2．通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問題的過程。在具體問題的解決過程中(如，三元一次方程組求解等問題)，理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).

1．通過對(duì)解決具體問題過程與步驟的分析(如，二元一次方程組求解等問題)，體會(huì)算法的思想，了解算法的含義；

3．單位制．

教學(xué)難點(diǎn)

　　 統(tǒng)一單位后，計(jì)算過程的正確書寫．

教學(xué)方法：

探究、講授、討論、練習(xí)

教學(xué)手段：

教具準(zhǔn)備

　　 多媒體課件

課時(shí)安排：

新授課(2課時(shí))

教學(xué)過程：

[新課導(dǎo)入]

　　 展示張飛和姚明的圖片

　　 師：大家都認(rèn)識(shí)這兩個(gè)人吧．

　　 生：認(rèn)識(shí)，一個(gè)是張飛，一個(gè)是姚明．

　　 師：那么大家知道他們的身高是多少呢?

　　 生：《三國(guó)演義)上說張飛身高9尺．

　　 師：按照現(xiàn)在的計(jì)算方法，張飛的身高應(yīng)該是多少?

　　 生：三尺是1 m，張飛的身高應(yīng)該是3m．

　　 師：姚明在當(dāng)代應(yīng)該是身高很高的人了，他的身高是多少?

　　 生：2．26m．看起來張飛要比姚明高很多，打籃球一定1。a厲害．

　　 師：并不是張飛比姚明高，而是古代的尺和現(xiàn)代的尺不一樣．在我國(guó)有“伸掌為尺”的說法，我國(guó)三國(guó)時(shí)期(公元3世紀(jì)初)王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”兩臂伸開長(zhǎng)八尺，就是一尋；從秦朝(約公元前221年)至清末(約公元1911年)的2 000多年間，我國(guó)的“尺”竟由1尺相當(dāng)于0．230 9m到0．355 8m的變化，其差別相當(dāng)懸殊．

　　 師：大家如果經(jīng)�？碞BA介紹時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)姚明的身高并不是說成2．26m，而是怎樣介紹的呢?

　　 生：我記得好像是幾英尺幾英寸，具體數(shù)值記不清了．

　　 師：1英尺等于0．304 8m，1英寸為2．54 cm．大家如果不記得的話可以重新計(jì)算一下，也可以計(jì)算一下自己的身高是多少．大家知道尺和英尺是怎樣來得嗎?

　　 生：不知道．

　　 多媒體介紹　　 ．

　　 在古代，人們常用身體的某些器官或部位的尺度作為計(jì)量單位．在遙遠(yuǎn)的古埃及時(shí)代，人們用中指來衡量人體的身長(zhǎng)，認(rèn)為健美的人身長(zhǎng)應(yīng)該是中指長(zhǎng)度的19倍．各個(gè)國(guó)家，地區(qū)以及各個(gè)歷史時(shí)期，都有各自的計(jì)量單位．僅以長(zhǎng)度為例，歐洲曾以手掌的寬度或長(zhǎng)度作為長(zhǎng)度的計(jì)量單位，稱為掌尺．在英國(guó)，1掌尺相當(dāng)于7．62 cm而在荷蘭，1掌尺卻相當(dāng)于10cm．英尺是8世紀(jì)英王的腳長(zhǎng)，1英尺等于0.304 8 m．10世紀(jì)時(shí)英王埃德加把自己大拇指關(guān)節(jié)間的距離定為1英寸．1英寸為2．54cm．這位君王又別出心裁，想出了“碼”這樣

一個(gè)長(zhǎng)度單位．他把從啟己的鼻尖到伸開手臂中指末端的距離--91 cm，定為1碼．到了1101年，亨利一世在法律上認(rèn)定了這一度量單位，此后，“碼”便成為英國(guó)的主要長(zhǎng)度單位，一直沿用了1 000多年．在我國(guó)亦有“伸掌為尺”的說法．我國(guó)三國(guó)時(shí)期(公元3世紀(jì)初)王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”兩臂伸開長(zhǎng)八尼，就是一尋；從秦朝(約公元前221年)至清末(約公元1911年)的2 000多年間，我國(guó)的“尺”竟由1尺相當(dāng)于0．230 9 m到0.355 8m的變化，其差別相當(dāng)懸殊．

[討論與交流]

2．力學(xué)中的三個(gè)基本單位．

1．什么是基本單位，什么是導(dǎo)出單位．