2、(2009廣東揭陽)設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，當(dāng)時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y＝f¢ (x)的圖象關(guān)于y軸對稱。

(1)求f (x)的表達(dá)式；

(2)試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[－1，1]上；(3)求證：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ 　 (x∈R)．

1、(2009澄海)已知二次函數(shù)，不等式的解集為．

(Ⅰ)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，求的解析式；

(Ⅱ)若的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

6、(2009廣東五校第一次)某商店將每個(gè)進(jìn)價(jià)為10元的商品，按每個(gè)18元銷售時(shí)，每天可賣出60個(gè)，經(jīng)調(diào)查，若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每提高1元，則日銷售量就減少5個(gè)；若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每降低1元，則日銷售量就增加10個(gè)，為獲得每日最大利潤，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？

解：設(shè)每個(gè)售價(jià)為x元，每日利潤為y元。

若x≥18時(shí)，銷售量為60-5(x-18)，每個(gè)利潤為(x-10)元，……2分

那么每日利潤為y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)²+500,　 ……4分

此時(shí)，售價(jià)定為每個(gè)20元時(shí)，利潤最大，其最大利潤為500元；……6分

若x<18時(shí)，銷售量為60+10(18-x)，每個(gè)利潤為(x-10)元，　 ……7分

那么每日利潤為y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)²+490, 　　……9分

此時(shí)，售價(jià)定為每個(gè)17元時(shí)，利潤最大，其最大利潤為490元；

　 故每個(gè)商品售價(jià)定為20元時(shí)，每日利潤最大�！　　� ……11分

答：為獲得每日最大利潤，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)20元。

5、(深圳福田等八校)已知函數(shù)，常數(shù)

　 (1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．

解：(1)當(dāng)時(shí)，，對任意

　　　 為偶函數(shù)　 ……………3分

　　　 當(dāng)時(shí)，

　　　 取，得 　　

　　 　　函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)……6分

(2)解法一：要使函數(shù)在上為增函數(shù)

等價(jià)于在上恒成立　　　　 ……………………………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴　　　　　　　　　 …………………………………………10分

∴　 的取值范圍是　　　　　 …………………………………………12分

解法二：設(shè)

　　　 ……8分　

　　 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立

　　 ，即恒成立　 ………………………………10分

　　 又，　

　　 的取值范圍是　　 ……………………………………………12分

4、(2009實(shí)驗(yàn)中學(xué))若函數(shù)的定義域?yàn)镸。當(dāng)時(shí)，求的最值及相應(yīng)的x的值。

解析：，，…………………1分

解得：，∴　 ……………3分

　=　　　　 ……………4分

　∵，∴　　 ……………6分

∴f(x)=　 ()……………7分

由二次函數(shù)性質(zhì)可知：　　 ……………9分

　　 ……………10分

當(dāng) ……………11分

綜上可知：當(dāng)f(x)取到最大值為，無最小值�！�…………12分

3、(2009廣東五校)通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f (t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t(分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知：

(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？

(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？

(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

解：(1)當(dāng)，是增函數(shù)…1分，

且…………2分；

，是減函數(shù)，且…………4分.

所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘…………5分.

(2)…………7分，

故講課開始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中…………9分.

(3)當(dāng)時(shí)，…………11分；

當(dāng)，令…………12分，

則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間28.57－4=24.57＞24…………13分，

所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題…………14分.

2、(2009執(zhí)信)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．

(Ⅰ) 寫出圖一表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=；

　　 寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=；

(Ⅱ) 認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿收益最大？

(注：市場售價(jià)和種植成本的單位：元/kg，時(shí)間單位：天)

解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

f(t)=

由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=(t－150)²+100，0≤t≤300．

(Ⅱ)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)=

當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得h(t)=－(t－50)²+100，

所以，當(dāng)t=50時(shí)，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；

當(dāng)200<t≤300時(shí)，配方整理得h(t)=－(t－350)²+100

所以，當(dāng)t=300時(shí)，h(t)取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5．

綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大．　

1、(2009廣州六中)已知二次函數(shù)：

⑴若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑵問：是否存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為。

解：⑴ ∵二次函數(shù)的對稱軸是

　　　 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

　　　 ∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)須滿足

　　　 即 　　　　解得 　

⑵ 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?sub>，

即　

∴

∴　 ∴，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?sub>，即　

∴　 ∴

經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?sub>，即　

∴

∴　 ∴或

經(jīng)檢驗(yàn)或滿足題意，所以存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為。

8、(2009潮州)為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：

明文　　　　　　　　　 密文　　　　　　　 密文　　　　　　　　　 明文

已知加密為為明文、為密文，如果明文“”通過加密后得到密文為“”，

再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“”，若接受方接到密文為“”，則原發(fā)的明文

是　　　　 。

解：依題意中，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以加密為，因此，當(dāng)時(shí)，由，解得。

7、(廣東五校第一次)函數(shù)的定義域?yàn)開____________。