0  441580  441588  441594  441598  441604  441606  441610  441616  441618  441624  441630  441634  441636  441640  441646  441648  441654  441658  441660  441664  441666  441670  441672  441674  441675  441676  441678  441679  441680  441682  441684  441688  441690  441694  441696  441700  441706  441708  441714  441718  441720  441724  441730  441736  441738  441744  441748  441750  441756  441760  441766  441774  447090 

1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和,減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即

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[例1] 和= (3,-4)平行的單位向量是_________;

錯(cuò)解:因?yàn)?sub>的模等于5,所以與平行的單位向量就是,即 (,-)

錯(cuò)因:在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況。

正解:因?yàn)?sub>的模等于5,所以與平行的單位向量是,即(,-)或(-,)

點(diǎn)評(píng):平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,-4)垂直的單位向量”,結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)。

[例2]已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn),求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

錯(cuò)解:設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y),則有x-2=-1-3,y-1=4-2 ,即x=-2,y=3。故所求D的坐標(biāo)為(-2,3)。

錯(cuò)因:思維定勢(shì)。習(xí)慣上,我們認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按照ABCD的順序。其實(shí),在這個(gè)題目中,根本就沒有指出四邊形ABCD。因此,還需要分類討論。

正解:設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y)

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABCD時(shí),有x-2=-1-3,y-1= 4-2 ,即x= -2,y= 3。解得D的坐標(biāo)為(-2,3);

當(dāng)四邊形為平行四邊形ADBC時(shí),有x-2=3-(-1),y-1= 2-4 ,即x= 6,y= -1。解得D的坐標(biāo)為(6,-1);

當(dāng)四邊形為平行四邊形ABDC時(shí),有x-3=-1-2,y-2= 4-1 ,即x= 0,y= 5。解得D的坐標(biāo)為(0,5)。

故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,3)或(6,-1)或(0,5)。

[例3]已知P1(3,2),P2(8,3),若點(diǎn)P在直線P1P2上,且滿足|P1P|=2|PP2|,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

錯(cuò)解:由|P1P|=2|PP2|得,點(diǎn)P 分P1P2所成的比為2,代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P()

錯(cuò)因:對(duì)于|P1P|=2|PP2|這個(gè)等式,它所包含的不僅是點(diǎn)P為 P1,P2 的內(nèi)分點(diǎn)這一種情況,還有點(diǎn)P是 P1,P2的外分點(diǎn)。故須分情況討論。

正解:當(dāng)點(diǎn)P為 P1,P2 的內(nèi)分點(diǎn)時(shí),P 分P1P2所成的比為2,此時(shí)解得P();

    當(dāng)點(diǎn)P為 P1,P2 的外分點(diǎn)時(shí),P 分P1P2所成的比為-2,此時(shí)解得P(13,4)。

    則所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為()或(13,4)。

點(diǎn)評(píng):在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí),要審清題意,注意內(nèi)外分點(diǎn)的情況。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。

[例4] 設(shè)向量 ,,,則“”是“”的

  A.充分不必要條件         B.必要不充分條件

  C.充要條件            D.既不充分也不必要條件

分析:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可.

解:若,∵,則,代入坐標(biāo)得:,即 消去,得

反之,若,則,即

  則,∴

  故“”是“ ”的充要條件.

答案:C

點(diǎn)評(píng):本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示.

[例5].已知=(1,-1),=(-1,3),=(3,5),求實(shí)數(shù)x、y,使=x +y

分析:根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法,用方程思想求解即可.

解:由題意有

   x +y =x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).

   又 =(3,5)

   ∴x-y=3且-x+3y=5

   解之得 x=7 且y=4

點(diǎn)評(píng):在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到解方程的方法.

[例6]已知A(-1,2),B(2,8),= ,= -,求點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo).

分析:待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo),再根據(jù)向量 , 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,用方程思想解之.

 解:設(shè)C、D的坐標(biāo)為、,由題意得

 =(),=(3,6), =(),=(-3,-6)

  又= ,= -

  ∴()=(3,6), ()=-(-3,-6)

  即 ()=(1,2) , ()=(1,2)

  ∴,

  ∴ ,且

  ∴點(diǎn)C、D和向量 的坐標(biāo)分別為(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)

小結(jié):本題涉及到方程思想,對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高.

§8.2平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用

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5.平移公式中首先要知道這個(gè)公式是點(diǎn)的平移公式,故在使用的過程中須將起始點(diǎn)的坐標(biāo)給出,同時(shí)注意順序。

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4.定比分點(diǎn)公式中則要記清哪個(gè)點(diǎn)是分點(diǎn);還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開計(jì)算的;

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3.對(duì)于坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量,在運(yùn)用平行與垂直的充要條件時(shí),一定要區(qū)分好兩個(gè)公式,切不可混淆。因此,建議在記憶時(shí)對(duì)比記憶;

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2.在運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時(shí)要注意起點(diǎn)和終點(diǎn);

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1.向量的概念的理解,尤其是特殊向量“零向量”

向量是既有大小,又有方向的量.向量的模是正數(shù)或0,是可以進(jìn)行大小比較的,由于方向不能比較大小,所以向量是不能比大小的.兩個(gè)向量的模相等,方向相同,我們稱這兩個(gè)向量相等,兩個(gè)零向量是相等的,零向量與任何向量平行,與任何向量都是共線向量;

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12.平移公式:

設(shè)P(x,y)是圖形F上的任意一點(diǎn),它在平移后圖形F/上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P/(x/,y/),且設(shè)的坐標(biāo)為(h,k),則由+,得:(x/,y/)=(x,y)+(h,k)

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11.平面向量的數(shù)量積

(1)定義:已知兩個(gè)非零向量,它們的夾角為θ,則數(shù)量||||cosθ叫做的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作·,即·=||||cosθ

規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0。

(2)幾何意義:數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度||與的方向上的投影||cosθ的乘積。

(3)性質(zhì):設(shè),都是非零向量,是與方向相同的單位向量,θ是的夾角,則··=||cosθ ,·=0

  當(dāng)同向時(shí),·=||||

 當(dāng)反向時(shí),·=-||||

  特別地,·=||2或||=

   cosθ=   |·|≤||||

(4)運(yùn)算律:

  ·· (交換律)

   (λ=λ(·)=·(λ)

   (+·+·

(5)平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件:

設(shè)=(x1 ,y1), = (x2,y2),則

·=||·||cos90°=0

x1x2+y1y2=0

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10.定比分點(diǎn)

設(shè)P1,P2是直線l上的兩點(diǎn),點(diǎn)P是不同于P1,P2的任意一點(diǎn)則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使,λ叫做分有向線段所成的比。若點(diǎn)P1、P、P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x,y),(x2,y2),則有

      

特別當(dāng)λ=1,即當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),有

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