Question

觀察數(shù)列

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

2

3

，

1

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

4

4

，

3

4

，

2

4

，

1

4

，…，求：
（1）數(shù)列中第150項；
（2）數(shù)列中前300項的和．

Answer 1

考點：數(shù)列中的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：（1）首先根據(jù)題意，可得分母是1、2、3、4…的個數(shù)分別是1、3、5、7…，然后根據(jù)分母最大是1的數(shù)列的項數(shù)是1=1²，分母最大是2的數(shù)列的項數(shù)是1+3=2²，分母最大是3的數(shù)列的項數(shù)是1+3+5=3²，判斷出數(shù)列中第150項是多少即可；
（2）首先判斷出數(shù)列中的第300項是多少，然后把數(shù)列的前300項求和即可．

解答： 解：（1）分母最大是1的數(shù)列的項數(shù)是1=1²，
分母最大是2的數(shù)列的項數(shù)是1+3=2²，
分母最大是3的數(shù)列的項數(shù)是1+3+5=3²，
…
因為12²=144，
所以從第145項到第150項分別是

1

13

、

2

13

、

3

13

、

4

13

、

5

13

、

6

13

，
即數(shù)列中第150項是

6

13

．

（2）因為17²=289，
所以從第290項到第300項分別是

1

18

、

2

18

…

11

18

，
因為

1

1

=1，

1

2

+

2

2

+

1

2

=2，

1

3

+

2

3

+

3

3

+

2

3

+

1

3

=3，

1

4

+

2

4

+

3

4

+

4

4

+

3

4

+

2

4

+

1

4

=4，…，
所以數(shù)列中分母是n的所有項的和也是n，
則數(shù)列中前300項的和為：1+2+3+…+17+

1

18

+

2

18

+

3

18

+…+

11

18

=（1+17）×17÷2+

(1+11)×11

2×18

=153+3

2

3

=156

2

3

即數(shù)列中前300項的和為156

2

3

．

點評：此題主要考查了數(shù)列中的規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是分析出：數(shù)列中分母是n的所有項的和也是n．