Question

甲和乙兩人做數(shù)學(xué)游戲：在黑板上寫(xiě)一個(gè)自然數(shù)，輪到誰(shuí)走時(shí)，誰(shuí)就從該自然數(shù)中減去它的某個(gè)非零數(shù)字，并用所得的差替換原數(shù)．兩人輪流走．誰(shuí)所得到的數(shù)是零，就算誰(shuí)贏．如果開(kāi)始在黑板上寫(xiě)著數(shù)1994，并且甲先走，問(wèn)誰(shuí)有必勝策略？

Answer 1

考點(diǎn)：最佳對(duì)策問(wèn)題

專題：數(shù)學(xué)游戲與最好的對(duì)策問(wèn)題

分析：要求現(xiàn)在讓甲先走，他應(yīng)該怎樣做才能保證一定取得勝利，只要甲每次都減去其中的個(gè)位數(shù)，保證個(gè)位為0，這樣另一個(gè)選手只能減去除個(gè)位外的其他某一位，這是個(gè)位又必不為0，此時(shí)我們繼續(xù)減去個(gè)位；依此類推，減到只剩個(gè)位數(shù)的時(shí)候，就是甲的勝利之時(shí)．甲先把4拿走，剩的為十的倍數(shù)，無(wú)論乙拿什么，甲對(duì)應(yīng)都拿個(gè)位上的數(shù)．甲必勝．

解答： 解：總是減去新數(shù)的個(gè)位數(shù)，使甲取得的數(shù)個(gè)位為0．換句話說(shuō)，甲除了第一步必先減4外，以后每輪跟隨乙，乙減去X，甲就減去10-X．
甲必先減4，得1990，
乙此時(shí)只能減1或9，得1989或1981，
甲此后必減去乙所得數(shù)的個(gè)位數(shù)，從而使得到的數(shù)個(gè)位為0．例如此輪甲減9得1980，
乙此時(shí)無(wú)論減1還是9或8，必使個(gè)位不為0．例如此輪乙得197X（1971、1979或1972無(wú)所謂），
甲得：1970，
乙得：196X，
甲得：1960，
如此直到…
乙得：11X，
甲得：110，
乙得：109，
甲得：100，
乙得：99，
甲得：90，
…
乙得：27，
甲得：20，
乙得：18，
甲得：10，
乙得：9，
甲得：0，
最終甲必勝．
答：總是減去新數(shù)的個(gè)位數(shù)，使甲取得的數(shù)個(gè)位為0．

點(diǎn)評(píng)：要求現(xiàn)在讓甲先做，他應(yīng)該怎樣做才能保證一定取得勝利，只要甲每次都減去其中的個(gè)位數(shù)，保證個(gè)位為0，這樣另一個(gè)選手只能減去除個(gè)位外的其他某一位，這是個(gè)位又必不為0，此時(shí)我們繼續(xù)減去個(gè)位；依此類推，減到只剩個(gè)位數(shù)的時(shí)候，就是甲的勝利之時(shí)．