Question

（1）能否將1到30的全部自然數(shù)，寫在一張5行6列的表中，使得每一列數(shù)字之和相等？如果能，請你給出一種填法，如果不能，請說明理由．
（2）能否將1到30的全部自然數(shù)，寫在一張5行6列的表中，使得每一行數(shù)字之和相等？如果能，請你給出一種填法，如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點：整除性質(zhì)

專題：整除性問題

分析：（1）把1～30填入表中，則這30個數(shù)的總和是1+2+3+…+30=465，又如果使每個橫行四個數(shù)的和相等，那么表中所有的數(shù)的和就是每一列數(shù)字之和的6倍，也就是表中所有的數(shù)的和就是6的倍數(shù)，但465÷6=77…3，所以465不是6的倍數(shù)，所以不可能；
（2）465÷5=93，所以可以，只要保證每一行的6個數(shù)的和為93即可；考慮30個數(shù)可以分成15組：（1，31）、（2，29）、（3，28）、…、（15，16），每組的和均為31，每行任意填3組即可．

解答： 解：（1）把1～30填入表中，則這30個數(shù)的總和是1+2+3+…+30=465，又如果使每個橫行四個數(shù)的和相等，那么表中所有的數(shù)的和就是每一列數(shù)字之和的6倍，也就是表中所有的數(shù)的和就是6的倍數(shù)，但465÷6=77…3，所以465不是6的倍數(shù)，所以不可能；

（2）465÷5=93，所以可以，只要保證每一行的6個數(shù)的和為93即可；如圖：

點評：由題意得出如能填入，這30個數(shù)的總和應(yīng)能被5或6整除是完成本題的關(guān)鍵．