Question

下面的數(shù)組是按一定順序排列的：
（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），…．請問：
（1）其中第70個括號內(nèi)的數(shù)分別是多少？
（2）前50個括號內(nèi)各數(shù)之和是多少？

Answer 1

考點：數(shù)列中的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：規(guī)律是這樣的：按和為2，和為3，和為4…排列下去
2=1+1
3=1+2=2+1
4=1+3=2+2=3+1
5=1+4=2+3=3+2=4+1
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
…
（1）和是2的加法算式有1個，即括號有1個；和是3的加法算式有2個，即括號有2個，依此類推，和是n的加法算式有n-1個，到和是n的加法算式總個數(shù)是1+2+3+4…+n-1，即括號數(shù)有1+2+3+4+…+n-1，要求其中第70個括號內(nèi)的數(shù)分別是多少，只要求出1+2+3+…+n-1=70，n是幾，即可得解；
（2）要求前50個括號內(nèi)各數(shù)之和是多少？只要求出1+2+3+…+n-1=50，求出n，然后求2+3×2+4×3+…+n×（n-1），即可得解．

解答： 解：根據(jù)以上分析，得：
（1）1+2+3+4+…+n-1=

n(n-1)

2

12×11

2

=66

13×12

2

=78
所以第70個括號內(nèi)的數(shù)是和為12的后面，即和13的第70-66=4個數(shù)，前一個數(shù)是4，后一個數(shù)是13-4=9，
答：其中第70個括號內(nèi)的數(shù)分別是（4，9）．

（2）1+2+3+…+n-1=

n(n-1)

2

10×9

2

=45

11×10

2

=55
所以第50個括號內(nèi)的數(shù)和是10的后面，即和是11的第50-45=5個數(shù)，
2+3×2+4×3+5×4+6×5+7×6+8×7+9×8+10×9+11×5
=2+6+12+20+30+42+56+72+90+55
=385
答：前50個括號內(nèi)各數(shù)之和是385．

點評：發(fā)現(xiàn)規(guī)律“按和為2，和為3，和為4…排列下去”是解決此題的關(guān)鍵．