Question

一個(gè)數(shù)被6除余4，被7除余3，被11除余8．這個(gè)數(shù)最小是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：孫子定理（中國(guó)剩余定理）

專(zhuān)題：余數(shù)問(wèn)題

分析：設(shè)所求的正整數(shù)為m，則由題意有：
m=6d+4 （d是整數(shù)） ①
m=7k+3 （k是整數(shù)） ②
m=11p+8 （p是整數(shù)）  ③
然后進(jìn)行分析討論，得出答案．

解答： 解：設(shè)所求的正整數(shù)為m，則由題意有：
m=6d+4 （d是整數(shù)） ①
m=7k+3 （k是整數(shù)） ②
m=11p+8 （p是整數(shù)）  ③
由①與②式得6d+4=7k+3
即6d=7k-1=6k+k-1
即d=k+（k-1）÷6 
由于d，k是整數(shù)，所以（k-1）能被6整除
所以可令k-1=6e （e是整數(shù)）
即k=6e+1 ④
把④式代入②得m=7（6e+1）+3=42e+10 ⑤
由③與⑤式得11p+8=42e+10 
即11p=42e+2=44e-2e+2
即p=4+2（-e+1）÷11 ⑥
由于p，e都是整數(shù)，所以（-e+1）能被11整除
所以可令-e+1=11r （r是整數(shù)）
即e=1-11r代入⑤式得
m=42（1-11r）+10
m=52-462r
要使m取最小值，則r=0即可
于是m=52．
答：這個(gè)數(shù)最小是52．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了中國(guó)剩余定理，先根據(jù)題意，設(shè)所求的正整數(shù)為m，得出關(guān)系式進(jìn)行逐步論證，解決問(wèn)題．