Question

試找出兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，使得每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都能被2006整除．這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是

 

和

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：整除性質(zhì)

專題：整除性問(wèn)題

分析：設(shè)這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是a和a+1，首先判斷出a的最后一個(gè)數(shù)一定是9；既然a的末位數(shù)字是9，a+1就會(huì)進(jìn)位，若有b次進(jìn)位，可得a+1各位數(shù)字和比a的各位數(shù)字和少9b-1，
2006÷9=223…1，因此a有223個(gè)9，其和為2007，前面的各位數(shù)字和是2005，并且從后數(shù)第224為小于9（這一位不能產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象了），進(jìn)而求出這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是多少即可．

解答： 解：設(shè)這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是a和a+1，
①如果a的最后一個(gè)數(shù)不是9，
則a+1的各位數(shù)字之和=a的各位數(shù)字之和+1，
兩者一個(gè)是偶數(shù)，一個(gè)是奇數(shù)，不可能同時(shí)被2006同時(shí)整除，
因此a的最后一個(gè)數(shù)一定是9；
②既然a的末位數(shù)字是9，a+1就會(huì)進(jìn)位，
若有b次進(jìn)位，可得a+1各位數(shù)字和比a的各位數(shù)字和少9b-1，
2006÷9=223…1，
因此a有223個(gè)9，其和為2007，前面的各位數(shù)字和是2005，并且從后數(shù)第224為小于9（這一位不能產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象了），
所以這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是：

11…1

2005個(gè)

99…99

223個(gè)

和

11…1

2004個(gè)

2

00…0

223個(gè)

．
故答案為：

11…1

2005個(gè)

99…99

223個(gè)

、

11…1

2004個(gè)

2

00…0

223個(gè)

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整除的性質(zhì)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是首先判斷出較小的自然數(shù)的末位數(shù)字是9．