Question

有一個長長的紙條，里面有37個方格，要求在每個方格里填入一個自然數，從1到37，既不重復，也不遺漏．
但數字不能隨便亂填，有一項特殊要求：第1個數能被第2個數整除，第1個數與第2個數之和能被第3個數整除；第1、2、3個數之和能被第4個數整除，…這個規(guī)律一直要保持下去，直到前面36個數的和能被最后一個數整除為止．

37

…

？

如果第一個方格內已填入37，那么最后一個方格中填

 

．

Answer 1

考點：數的整除特征

專題：整除性問題

分析：題目要求前面36個數的和能被最后一個數整除，而1+2+…+36+37=1×19×37．假設最后一個數填n，那么，前面36個數的和等于1×19×37-n，所以，為了讓前面36個數的和1×19×37-n能被最后一個數整除，就要求1×19×37中含有n，這樣，最后一格可填1或19或37，然后討論即可．

解答： 解：因為題目要求前面36個數的和能被最后一個數整除，而1+2+…+36+37=1×19×37．
假設最后一個數填n，
那么，前面36個數的和等于：1×19×37-n，
所以，為了讓前面36個數的和1×19×37-n能被最后一個數整除，就要求1×19×37中含有n，這樣，最后一格可填1或19或37． 
但第一個數已經填了37，而且第一個數能被第二個數整除，這樣，第二個數只能填1．
所以，最后一個方格中的可填的數是只能是19．
也就是：37、1、…、19．
故答案為：19．

點評：本題結合逆推問題考查了整除問題，關鍵是先從這37個數的和作為突破口來解答．