5.計算:$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}+\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}+\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}+…+\frac{200{0}^{2}+200{1}^{2}}{2000×2001}$=4000$\frac{2000}{2001}$.

分析 根據(jù)$\frac{[n^2+(n+1)^2]}{n(n+1)}$=$\frac{n^2}{n(n+1)}$+$\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{n+1}{n}$=$\frac{(n+1)-1}{n+1}$+(1+$\frac{1}{n}$)=1-$\frac{1}{n+1}$+1+$\frac{1}{n}$=2+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$);把原式化為2+(1-$\frac{1}{2}$)+2+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+2+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+2+($\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$),這樣變成2000個2與1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$,再計算就比較簡單了.

解答 解:$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}+\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}+\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}+…+\frac{200{0}^{2}+200{1}^{2}}{2000×2001}$
=2+(1-$\frac{1}{2}$)+2+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+2+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+2+($\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$)
=2×2000+(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$)
=4000+(1-$\frac{1}{2001}$)
=4000+$\frac{2000}{2001}$
=4000$\frac{2000}{2001}$.
故答案為:4000$\frac{2000}{2001}$.

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)$\frac{[n^2+(n+1)^2]}{n(n+1)}$=2+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),把原式進行轉(zhuǎn)化,然后再計算.

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