Question

在一個(gè)矩形內(nèi)任意放五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上．證明：在以這五點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至少有一個(gè)的面積小于矩形面積的四分之一．

Answer 1

考點(diǎn)：組合圖形的面積

專題：平面圖形的認(rèn)識與計(jì)算

分析：五點(diǎn)可以組成四個(gè)不相交的三角形，假設(shè)每個(gè)三角形的大小均等于或大于 

1

4

；據(jù)此分析證明即可解答問題．
則 

1

4

+

1

4

+

1

4

+

1

4

=1；
即四個(gè)三角形的面積和至少和矩形面積相等；
上面五個(gè)點(diǎn)必須有至少一個(gè)點(diǎn)在矩形上，不符合在矩形內(nèi)的特征；
所以原命題成立．

解答： 解：五點(diǎn)可以組成四個(gè)不相交的三角形，假設(shè)每個(gè)三角形的大小均等于或大于 

1

4

；
則 

1

4

+

1

4

+

1

4

+

1

4

=1；
即四個(gè)三角形的面積和至少和矩形面積相等；
上面五個(gè)點(diǎn)必須有至少一個(gè)點(diǎn)在矩形上，不符合在矩形內(nèi)的特征；
所以原命題成立．

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是利用反證法，先假設(shè)每個(gè)三角形的大小均等于或大于 

1

4

，再與矩形的特征相比較即可解答問題．