Question

有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個）的形式時，恰好有20種方法．這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫出質(zhì)因數(shù)分解）

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：競賽專題

分析：連續(xù)20個正整數(shù)，設(shè)第一個為a，則第二個為a+1…，那么這20個連續(xù)正整數(shù)和為20a+190=10×（2a+19），這個數(shù)可以被2和10整除，即這個整數(shù)一定含有因數(shù)2和5，又因為恰好有20種方法，所以它的奇質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也必須是20個，因此要最小，除了質(zhì)因數(shù)2、5外最小是3，因此3的個數(shù)是19個；據(jù)此解答即可．

解答： 解：連續(xù)20個正整數(shù)，設(shè)第一個為a，則第二個為a+1…，
那么這20個連續(xù)正整數(shù)和為20a+190=10×（2a+19），
這個數(shù)可以被2和10整除，即這個整數(shù)一定含有因數(shù)2和5，
又因為恰好有20種方法，所以它的奇質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也必須是20個，
因此要最小，除了質(zhì)因數(shù)2、5只有一個外，最小是3，因此3的個數(shù)是20-1=19個；
所以，這個數(shù)最小，質(zhì)因數(shù)分解是：N=2×5×3¹⁹；
答：最小是2×5×3¹⁹．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確，一個正整數(shù)的分解方法（成連續(xù)正整數(shù)之和）等于奇質(zhì)因數(shù)的個數(shù)．