Question

3．由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有多少個？

Answer 1

分析 這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求1，2，3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1，2，3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，即分1，2，3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，和1，2，3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，據(jù)此解答即可．

解答 解：分兩類 （1）1，2，3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有：$C_3^1×5×4=60$（個）；
（2）1，2，3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，這樣的數(shù)有：$C_3^2×5×C_4^2=90$（個）；
綜上所述符合題意的五位數(shù)共有：60+90=150（個）．
答：這樣的五位數(shù)共有150個．

點評 也可以從反面想，從由1，2，3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個或2個數(shù)字組成的五位數(shù)，即：從反面想：由1，2，3組成的五位數(shù)共有3⁵個，由1，2，3中的某2個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3×（2⁵-1）個，由1，2，3中的某1個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個，所以符合題意的五位數(shù)共有3⁵-3×（2⁵-1）-3=150個．