Question

某個四位數(shù)有如下特點：它加上1之后是15的倍數(shù)，它減去3之后是38的倍數(shù)．把它的各數(shù)位上的數(shù)字左右倒過來寫，所得的新數(shù)與原數(shù)之和能被10整除，這個四位數(shù)是多少？

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：原數(shù)加1后是15的倍數(shù)，所以這個四位數(shù)必是5的倍數(shù)，所以個位數(shù)字是4或9，又因為原數(shù)減去3后是38的倍數(shù)，是一個偶數(shù)，可得原數(shù)應該是奇數(shù)，所以原數(shù)的個位數(shù)字只能是9，再從條件（3）可知：原數(shù)的個位數(shù)字與千位數(shù)字之和是10，所以千位數(shù)字是10-9=1，設(shè)原數(shù)為38m+3（m為自然數(shù)），則有1009≤38m+3≤1996，據(jù)此可得26≤m≤53，據(jù)此再進行分析即可解答．

解答： 解：原數(shù)加1后是15的倍數(shù)，所以這個四位數(shù)必是5的倍數(shù)，所以個位數(shù)字是4或9，
又因為原數(shù)減去3后是38的倍數(shù)，是一個偶數(shù)，可得原數(shù)應該是奇數(shù)，所以原數(shù)的個位數(shù)字只能是9，
再從條件（3）可知：原數(shù)的個位數(shù)字與千位數(shù)字之和是10，所以千位數(shù)字是10-9=1，
設(shè)原數(shù)為38m+3（m為自然數(shù)），則有1009≤38m+3≤1996，
可得26≤m≤53，
因為原數(shù)38m+3的個位數(shù)字是9，所以8m的個位數(shù)字是6．從而m的個位數(shù)字是2或7，
在26到53之間，個位數(shù)字是2或7的數(shù)有27、32、37、42、47、52，
又因為原數(shù)加上1后是15的倍數(shù)，則38m+3+1=38m+4是3的倍數(shù)，則19m+2必定是3的倍數(shù)，
19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍數(shù)，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，
所以m=37或52，
所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，
經(jīng)檢驗正好滿足題意，
答：所求的四位數(shù)是1409或1979．

點評：根據(jù)題干，明確四位數(shù)的個位數(shù)字和千位數(shù)字分別是9和1，再根據(jù)被15整除的數(shù)的特征和偶數(shù)特征進行分析即可解答．