Question

一個樓梯共有12級臺階，規(guī)定每步可以邁1級臺階或2級臺階，最多可以邁3級臺階．從地面到最上面1級臺階，一共可以有多少種不同的走法？

Answer 1

分析：首先從簡單情況入手，若有1級臺階，則只有惟一的邁法，若有2級臺階，則有兩種邁法，若有3級臺階，則有4種邁法，若有4級臺階，則按照第一步邁的級數(shù)分三類討論：①第一步邁一級臺階，那么還剩三級臺階，根據(jù)前面分析可知a₃=4種萬法，②第一步邁二級臺階，還剩二級臺階，根據(jù)前面的分析可知有a₂=2種邁法，③第一步邁三級臺階，那么還剩一級臺階，還有a₁=1種，然后依次求出a₅、a₆、…a₁₂．

解答：解：從簡單情況入手：
（1）若有1級臺階，則只有惟一的邁法：a₁=1；
（2）若有2級臺階，則有兩種邁法：一步一級或一步二級，則a₂=2；
（3）若有3級臺階，則有4種邁法：①一步一級地走，②第一步邁一級而第二步邁二級，③第一步邁二級而第二步邁一級，④一級邁三級，a₃=4；
（4）若有4級臺階，則按照第一步邁的級數(shù)分三類討論：①第一步邁一級臺階，那么還剩三級臺階，根據(jù)前面分析可知a₃=4種萬法，②第一步邁二級臺階，還剩二級臺階，根據(jù)前面的分析可知有a₂=2種邁法，③第一步邁三級臺階，那么還剩一級臺階，還有a₁=1．
所以a₄=a₁+a₂+a₃=7，
類推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=7+13+24=44；
a₈=a₅+a₆+a₇=13+24+44=81；
a₉=a₆+a₇+a₈=24+44+81=149；
a₁₀=a₇+a₈+a₉=44+81+149=274．
a₁₁=a₈+a₉+a₁₀=81+149+274=504，
a₁₂=a₉+a₁₀+a₁₁=149+274+504=927，
所以共有927種邁法．

點評：本題主要考查加法原理和乘法原理的知識點，解答本題的關(guān)鍵是從簡單情況入手，依次求出n級臺階的邁法，此題難度不大．