Question

（1）能否將l至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為平方數(shù)？
（2）能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質(zhì)數(shù)？

Answer 1

考點：完全平方數(shù)性質(zhì)

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：（1）因為1+2=3、15+14=29，要使任意相鄰兩數(shù)的和為平方數(shù)，則其最大和為25、最小和為4．
又因為這一串?dāng)?shù)一共有14個相鄰和，要滿足條件，它們必須為4、9、16、25．
兩數(shù)和為4，只可能有一種情況：1+3
兩數(shù)和為9，只可能有三種情況：1+8、2+7、3+6、4+5
兩數(shù)和為16，只可能有六種情況：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9
兩數(shù)和為25，只可能有種情況：10+15、11+14、12+13
其中，8、9出現(xiàn)了一次，與這串?dāng)?shù)“最外邊的兩個數(shù)與相鄰數(shù)加一次、其余的數(shù)要與相鄰數(shù)加兩次”相吻合，經(jīng)嘗試，可以排出滿足題中的條件的排法，如：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
（2）因為在1--15之間，1+2=3、15+14=29，最大和為29，最小和為3，在3-29之間的質(zhì)數(shù)有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．因此可以試著排一下，如：15、2、3、14、5、8、9、10、13、4、1、12、7、6、11．

解答： 解：（1）因為1+2=3、15+14=29，要使任意相鄰兩數(shù)的和為平方數(shù)，則其最大和為25、最小和為4．
又因為這一串?dāng)?shù)一共有14個相鄰和，要滿足條件，它們必須為4、9、16、25．
兩數(shù)和為4，只可能有一種情況：1+3
兩數(shù)和為9，只可能有三種情況：1+8、2+7、3+6、4+5
兩數(shù)和為16，只可能有六種情況：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9
兩數(shù)和為25，只可能有種情況：10+15、11+14、12+13
可以排出滿足題中的條件的排法，如：
8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9．
因此，能將l至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為平方數(shù)．

（2）1+2=3、15+14=29，最大和為29，最小和為3，在3-29之間的質(zhì)數(shù)有：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29．
將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質(zhì)數(shù)，可以排成：15、2、3、14、5、8、910、13、4、1、12、7、6、11．
因此，能將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質(zhì)數(shù)．

點評：解答此題，應(yīng)注意找出最值，理解平方數(shù)以及質(zhì)數(shù)的概念．