Question

一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度是3、4、5，如果分別以各邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到三個(gè)立體．求這三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比．

Answer 1

分析：這個(gè)三角形的兩條直角邊分別是3、4，斜邊是5．
以3為旋轉(zhuǎn)軸得到的是底面半徑為4，高為3的一個(gè)圓錐；
以4為旋轉(zhuǎn)軸得到的是底面半徑為3，高為4的一個(gè)圓錐；
根據(jù)圓錐的公式V=

1

3

πr²h即分別求出這兩個(gè)圓錐的體積．
以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體．設(shè)兩個(gè)圓錐的高h(yuǎn)₁h₂，則h₁+h₂=5，設(shè)底面的半徑是h，它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：

1

2

×5h=

1

2

×3×4，得h=

12

5

．再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積．然后根據(jù)比的意義，求出這三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比．

解答：解：（1）以長(zhǎng)為3的直角邊分為軸旋轉(zhuǎn)得到的是一個(gè)圓錐，體積：V₃=

1

3

π×4²×3=16π；
（2）以長(zhǎng)為4的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體也是圓錐，體積：V₄=

1

3

π×3²×4=12π；
（3）以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體．
設(shè)兩個(gè)圓錐的高h(yuǎn)₁和h₂，則有h₁+h₂=5，設(shè)底面的半徑是h，
它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：

1

2

×5h=

1

2

×3×4，所以h=

12

5

．
再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積是：V₅=

1

3

πh²h₁+

1

3

πh²h₂=

1

3

πh²（h₁+h₂）=

1

3

π（

12

5

）²×5=

48

5

π；
（4）16π＞12π＞

48

5

π，
16π：

48

5

π=5：3．
答：最大的體積和最小的體積的比5：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查圓錐的體積、紡錐體體積的計(jì)算．紡錐體體積的計(jì)算比較麻煩，用小學(xué)知識(shí)解答比較困難．