Question

如圖所示的三角形數(shù)陣中，從第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相鄰兩數(shù)之間填入它們的和，請(qǐng)問(wèn)：第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：帶余除法,數(shù)陣圖中找規(guī)律的問(wèn)題

專題：余數(shù)問(wèn)題

分析：設(shè)每一行的各數(shù)之和為S_n，分別求出它們的值以及被7除所得的余數(shù)，進(jìn)而總結(jié)出從S₃開始，除以7的余數(shù)分別是3、0、5、6、2、4、3、0…，每6個(gè)一個(gè)循環(huán)，然后判斷出999是第幾個(gè)循環(huán)里的第幾個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是多少即可．

解答： 解：設(shè)每一行的各數(shù)之和為S_n，
則S₁=1+1=2，S₂=1+2+1=4，S₃=1+3+2+3+1=10，S₄=1+4+3+5+2+5+3+4+1=28，
S₅=1+5+4+7+3+8+5+7+2+7+5+8+3+7+4+5+1=82，
S₆=1+6+5+9+4+11+7+10+3+11+8+13+5+12+7+9+2+9+7+12+5+13+8+11+3+10+7+11+4+9+5+6+1=244，
S₇=1+7+6+11+5+14+9+13+4+15+11+18+7+17+10+13+3+14+11+19+8+21+13+18+5+17+12+19+7+16+9+11+2+11+9+16+7+19+12+17+5+18+13+21+8+19+11+14+3+13+10+17+7+18+11+15+4+13+9+14+5+11+6+7+1=730，
因?yàn)镾₂=3S₁-2，S₃=3S₂-2，S₄=3S₃-2，S₅=3S₄-2…
所以S₈=3S₇-2=3×730-2=2188，S₉=3S₈-2=3×2188-2=6562，S₁₀=3S₉-2=3×6562-2=19684；
因?yàn)?0÷7=1…3，28÷7=4，82÷7=11…5，244÷7=34…6，
730÷7=104…2，2188÷7=312…4，6562÷7=937…3，19684÷7=2812，
所以從S₃開始，除以7的余數(shù)分別是3、0、5、6、2、4、3、0…，每6個(gè)一個(gè)循環(huán)，
又因?yàn)椋?99-2）÷6=166…1，
所以第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是3．
答：第999行各數(shù)之和被7除所得的余數(shù)是3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了帶余除法的性質(zhì)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是分析出：從S₃開始，除以7的余數(shù)分別是3、0、5、6、2、4、3、0…，每6個(gè)一個(gè)循環(huán)．