Question

【題目】如圖1，在平行四邊形中， ， ， ， 、分別為、的中點，現(xiàn)把平行四邊形1沿 折起如圖2所示，連接、、．

（1）求證： ；

（2）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）取的中點，計算可得， ，即得平面，從而可證（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得兩個法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果

試題解析：證明：（1）取的中點，連接， ， ，

∵在平行四邊形中， ， ， ， 、分別為、的中點，

∴， 為正三角形，

則， ，又∵，

∴平面，

∵平面

∴；

∵， ， ， 、分別為、的中點，

∴， ， ∵，則，

則三角形為直角三角形，則，

以為原點，以， ， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（1，0，0），B1（0， ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， ），則

則， =（0， ， ），=（1，0， ），

設(shè)平面AB1C的法向量為，

則， 令，則， ， 則，

設(shè)平面A1B1A的法向量為，則，

令，則， ，即，

則

∴二面角的正弦值是.