Question

已知n!+3是一個完全平方數(shù)，試確定自然數(shù)n的值．（n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

考點：完全平方數(shù)性質(zhì)

專題：競賽專題

分析：對任意偶數(shù)2k，其平方4k²必能被4整除，對任意奇數(shù)2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于當n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當n≥4時，1×2×3×…×n+3不可能是一個自然數(shù)的平方．

解答： 解：對任意偶數(shù)2k，其平方4k²必能被4整除，對任意奇數(shù)2k+1，其平方4k²+4k+1被4整除余1，由于當n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當n≥4時，1×2×3×…×n+3不可能是一個自然數(shù)的平方．
將n=1，2，3代入知：
1+3=4=2²
1×2×3+3=9=3²
故n=1，或n=3．
答：自然數(shù)n的值為1或3．

點評：由于當n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故當n≥4時，1×2×3×…×n+3不可能是一個自然數(shù)的平方．