Question

從1至30這30個自然數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除．請問：最多能取出多少個數(shù)？

Answer 1

考點：抽屜原理

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：將1、2、3…29、30按除以7的余數(shù)分成以下幾類：
①{1，8，15，22，29}，②{2，9，16，23，30}，③{3，10，17，24}，④{4，11，18，25}，⑤{5，12，19，26}，⑥{6，13，20，27}，⑦{7，14，21，28}．發(fā)現(xiàn)這幾組數(shù)的特點：
①和⑥中兩數(shù)之和是7的倍數(shù)，②和⑤中兩數(shù)之和是7的倍數(shù)，③和④中兩數(shù)之和是7的倍數(shù)；
考慮極端情況：將前3組數(shù)全部取完，和第7組一個數(shù)，共5+5+4+1=15個，（后面三組與第7組一個數(shù)共4+4+4+1=13個），這15個（13個）數(shù)中任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)．若再多到一個，則這一個數(shù)必然與前四組中某一個數(shù)的和是7的倍數(shù)．

解答： 解：根據(jù)題干分析可得：
最多為5+5+4+1=15（個），
答：最多能取出15個數(shù)，使取出的數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)．

點評：此題抓住數(shù)的整除的特征，利用余數(shù)特點將這些數(shù)字進行分類從而解決問題．