Question

15．△ABC₁和△ABC₂是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為1的等腰直角三角形，當(dāng)二面角C₁-AB-C₂為60°時(shí)，點(diǎn)C₁和C₂之間的距離等于$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（請(qǐng)寫出所有可能的值）

Answer 1

分析 ①若AB是斜邊，則根據(jù)題中二面角的大小，首先要作出此二面角的平面角，可以取AB中點(diǎn)M，連接MC₁、MC₂，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，進(jìn)而可以求得答案；
②若AB是直角邊，則∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，進(jìn)一步可得答案；
③如圖3所示：AB為公共直角邊時(shí)，C₁在靠近A的這側(cè)，但是C₂在靠近B的那側(cè)．

解答 解：①如圖1所示：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，取AB中點(diǎn)M，連接MC₁、MC₂，
∵△ABC₁和△ABC₂均為等腰直角三角形，
∴MC₁⊥AB，MC₂⊥AB，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，
∴∠C₁MC₂=60°，
又∵M(jìn)C₁=MC₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C₁C₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②如圖2所示：當(dāng)AB為直角邊時(shí)，
∵BA⊥AC₁，BA⊥AC₂，
∴∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，
∴∠C₁AC₂=60°，
又∵C₁A=C₂A=1，
∴C₁C₂=1；
③如圖3所示：AB為公共直角邊時(shí)，C₁在靠近A的這側(cè)，但是C₂在靠近B的那側(cè)，
此時(shí)C₁C₂=$\sqrt{2}$，
綜上所述：點(diǎn)C₁和C₂之間的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1或$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)、線、面之間的距離計(jì)算，二面角及其度量等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力，是中檔題．