Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）若BA⊥AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）四邊形AFBD是菱形，理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）首先推知△AFE≌△DCE（AAS），則其對(duì)應(yīng)邊相等AF＝CD，結(jié)合已知條件AF＝BD得到：BD＝CD，即D是BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形AFBD是菱形．連接FD．構(gòu)造平行四邊形AFDC．根據(jù)對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形證得結(jié)論：四邊形AFBD是菱形．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．

∵E為AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE．

∴，

∴△AFE≌△DCE（AAS）．

∴AF＝CD．

∵AF＝BD，

∴BD＝CD，即D是BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形AFBD是菱形．理由如下：

連接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形．

同理可證四邊形AFDC是平行四邊形．

∴FD∥AC．

∵BA⊥AC，

∴BA⊥FD．

∴四邊形AFBD是菱形．