【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且對(duì)稱軸為x=﹣2,點(diǎn)P(0,t)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)如圖1,當(dāng)0≤t≤4時(shí),設(shè)△PAD的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此時(shí)t的值.
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠PDA=90°時(shí),Rt△ADP與Rt△AOC是否相似?若相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不相似,說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣(x+2)2+4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2,4);(2)S=﹣2t+12,t=4時(shí),S有最小值,最小值4;(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2).
【解析】(1)對(duì)稱軸為x=﹣=﹣2,
解得b=﹣1,
所以,拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3,
∵y=﹣x2﹣x+3=﹣(x+2)2+4,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2,4);
(2)令y=0,則﹣x2﹣x+3=0,
整理得,x2+4x﹣12=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴點(diǎn)A(﹣6,0),B(2,0),
如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E,
∵0≤t≤4,
∴△PAD的面積為S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE,
=×(2+6)×4﹣×6t﹣×2×(4﹣t),
=﹣2t+12,
∵k=﹣2<0,
∴S隨t的增大而減小,
∴t=4時(shí),S有最小值,最小值為﹣2×4+12=4;
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F,
∵A(﹣6,0),D(﹣2,4),
∴AF=﹣2﹣(﹣6)=4,
∴AF=DF,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴∠ADF=45°,
由二次函數(shù)對(duì)稱性,∠BDF=∠ADF=45°,
∴∠PDA=90°時(shí)點(diǎn)P為BD與y軸的交點(diǎn),
∵OF=OB=2,
∴PO為△BDF的中位線,
∴OP=DF=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2),
由勾股定理得,DP==2,
AD=AF=4,
∴==2,
令x=0,則y=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),OC=3,
∴==2,
∴=,
又∵∠PDA=90°,∠COA=90°,
∴Rt△ADP∽Rt△AOC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直角三角形ABO的周長(zhǎng)為100,在其內(nèi)部有n個(gè)小直角三角形周長(zhǎng)之和為( )
A.90
B.100
C.110
D.120
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解青少年形體情況,現(xiàn)隨機(jī)抽查了某市若干名初中學(xué)生坐姿、站姿、走姿的好壞情況.我們對(duì)測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)作了適當(dāng)處理(如果一個(gè)學(xué)生有一種以上不良姿勢(shì),以他最突出的一種作記載),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)將兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)請(qǐng)問(wèn)這次被抽查形體測(cè)評(píng)的學(xué)生一共是多少人?
(3)如果全市有5萬(wàn)名初中生,那么全市初中生中,坐姿和站姿不良的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,b)(b>0),點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),記點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P′.
(1)當(dāng)b=3時(shí)(如圖1),
①求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
(2)②在x軸上找一點(diǎn)Q(點(diǎn)O除外),使△APQ與△AOB全等,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的所有坐標(biāo)
(3)若點(diǎn)P在第一象限(如圖2),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,作PC⊥x軸于點(diǎn)C,連結(jié)AP′,CP′.當(dāng)△ACP′是以點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí),求出a,b的值.
(4)當(dāng)線段OP′恰好被直線AB垂直平分時(shí)(如圖3),直接寫(xiě)出b= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,分別探討下面四個(gè)圖形中∠APC與∠PAB、∠PCD的關(guān)系,請(qǐng)你從所得到的關(guān)系中任選一個(gè)加以說(shuō)明.(適當(dāng)添加輔助線,其實(shí)并不難)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種商品每件進(jìn)價(jià)為10元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(10≤x≤20且x為整數(shù))出售,可賣出(20﹣x)件,若使利潤(rùn)最大,則每件商品的售價(jià)應(yīng)為_____元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G,D、C分別在M、N的位置上,若∠EFG=55°,求:
(1)∠FED的度數(shù);
(2)∠FEG的度數(shù);
(3)∠1和∠2的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽,參賽學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
班級(jí) | 參賽人數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | 平均數(shù) |
甲 | 55 | 149 | 191 | 135 |
乙 | 55 | 151 | 110 | 135 |
某同學(xué)分析上表后得出如下結(jié)論:
①甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)平均水平相同;
②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字≥150個(gè)為優(yōu)秀);
③甲班成績(jī)的波動(dòng)比乙班大,
上述結(jié)論正確的是( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
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