Question

【題目】如圖，一定數量的石子可以擺成如圖所示的三角形和四邊形，古希臘科學家把數1,3,6,10,15,21，...稱為“三角形數”；把1,4,9,25，...稱為“正方形數”.同樣可以把1,5,12,22，...，等數稱為“五邊形數”.

將三角形、正方形、五邊形都整齊的由左到右填在所示表格里：

（1）按照規(guī)律，表格中a=_______________，b=_________________，c=________________________

（2）觀察表中規(guī)律，第n個“正方形數”是_________________；若第n個“三角形數”是x，則用含x、n的代數式表示第n個“五邊形數”是 ______________________________.

Answer 1

【答案】 28 36 35 n2 n2+x-n

【解析】（1）首先根據前6個“三角形數”分別是1=、3=、6=、10=、15=、21=，可得第n個“三角形數”是，據此求出a的值是多少；然后根據前5個“正方形數”分別是1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，可得第n個“正方形數”是n2，據此求出b的值是多少；最后根據前4個“五邊形數”分別是1=，5=，12=，22=，可得第n個“五邊形數”是，據此求出c的值是多少即可．
（2）首先判斷出第n個“正方形數”是n2；然后分別求出第1個“三角形數”、第1個“正方形數”的和與第1個“五邊形數”的差是多少，第2個“三角形數”、第2個“正方形數”的和與第2個“五邊形數”的差是多少；第3個“三角形數”、第3個“正方形數”的和與第3個“五邊形數”的差是多少；最后總結出規(guī)律，用含x、n的代數式表示第n個“五邊形數”即可．

（1）∵前6個“三角形數”分別是：
1=、3=、6=、10=、15=、21=，
∴第n個“三角形數”是，
∴a==28．
∵前5個“正方形數”分別是：
1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，
∴第n個“正方形數”是n2，
∴b=62=36．
∵前4個“正方形數”分別是：
1=，5=，12=，22=，
∴第n個“五邊形數”是n（3n1）2n（3n1）2，
∴c=5×（3×51）25×（3×51）2=35．
（2）第n個“正方形數”是n2；
1+1-1=1，
3+4-5=2，
6+9-12=3，
10+16-22=4，
…，
∴第n個“五邊形數”是n2+x-n．