Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．

（2）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）線(xiàn)段OB與拋物線(xiàn)交與點(diǎn)E，點(diǎn)P為線(xiàn)段OE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，點(diǎn)E重合），過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，問(wèn)：在線(xiàn)段OE上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PD=CM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）（，1）

（3）存在。理由見(jiàn)解析

【解析】

分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AO的長(zhǎng)和∠BOA的度數(shù)，可求得OB的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過(guò)C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長(zhǎng)求得CD、OD的值，從而求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，將A、C、O的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線(xiàn)的解析式。

（2）求出直線(xiàn)BO的解析式，進(jìn)而利用x=求出y的值，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）根據(jù)（1）所得拋物線(xiàn)的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)（即C點(diǎn)），設(shè)直線(xiàn)MP與x軸的交點(diǎn)為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過(guò)M作MF⊥CD（即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸）于F，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)，易求得CF、QD的長(zhǎng)，聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，

∴，AB=2。

由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=，

∴∠COH=60°，OH=，CH=3。

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）。

∵O點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），∴拋物線(xiàn)解析式為（a≠0）。

∵圖象經(jīng)過(guò)C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)，

∴，解得。

∴此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為：。

（2）∵AO=，AB=2，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）。

∴設(shè)直線(xiàn)BO的解析式為：y=kx，則2=k，解得：k=。

∴設(shè)直線(xiàn)BO的解析式為：y=x。

∵的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

∴將兩函數(shù)聯(lián)立得出：y=。

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，1）。

（3）存在。

∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），即為點(diǎn)C，

MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；

∵∠BOA=30°，∴ON=t�！郟（t，t）。

作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F，

把x=t代入，得，

∴M（t，﹣），F(xiàn)（，）。

同理：Q（，t），D（，1）。

要使PD=CM，只需CF=QD，即，解得t=，t=1（舍去）。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為。

∴存在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)，使得PD=CM，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為