Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，于y軸交于點(diǎn)D．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)C（3，m）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，連接BC，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠CBP=60°．

①求∠OBD的度數(shù)；

②求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣3x﹣4；（2）①60°，②（-，）

【解析】分析：（1）代入A、B點(diǎn)坐標(biāo)即可求得a、b的值，即可解題；

（2）①易證△BOD是含30°角的直角三角形，即可解題；

②過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，易證△CBF∽△PBE，可得，即可解題．

詳解：（1）由題意知：，解得．

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）①∵當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣4．

∴拋物線與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4）．

∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，

∴BD==8，即BD=2OB，

∴∠ODB=30°．

∴∠OBD=60°；

②過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，

∵x=3時(shí)，m=﹣4．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，﹣4）．

∵CD∥x軸，

∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．

∴DF=CD=，CF=，

∵BD=8，

∴BF=8﹣=，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣3x﹣4）．

則PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，

∵∠CBP=∠OBD=60°，

∴∠CBF=∠PBE．

∵∠CFB=∠PEB=90°．

∴△CBF∽△PBE．

∴．

∴，

解得：x1=4（舍去），x2=﹣．

∵當(dāng)x=﹣時(shí)，y=﹣．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．