Question

如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD上，落點記為E（不與點C，D重合），點A落在點F處，折痕MN交AD于點M，交BC于點N．若，則BN的長是    ，的值等于    ；若（n≥2，且n為整數），則的值等于    （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：求出CE，根據勾股定理求出BN、EN，證△DEQ∽△CNE，求出DQ、QE長，在Rt△MFQ中，根據勾股定理求出AM即可．
解答：解：∵沿MN折疊B和E重合，
∴BN=NE，
∵=，CD=2，
∴CE=1，
設BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=，
BN=NE=．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴==，
∴==，
DQ=，EQ=，
∵折疊A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2--AM）²=AM²+（2-）²，
AM=．

∵沿MN折疊B和E重合，
∴BN=NE，
∵=，CD=2，
∴CE=，
設BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=（）²+（2-x）²
x=，
BN=NE=．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴==，
∴==，
DQ=，EQ=，
∵折疊A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2--AM）²=AM²+（2-）²，
AM=，
∴=，
故答案為：，，．
點評：本題考查了折疊的性質，正方形性質，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，注意：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，用了方程思想．