Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x²+bx+c過A，B．C三點，點A的坐標是（3，0），拋物線的對稱軸為直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P在拋物線上，且在直線AC下方，過動點P作PE垂直x軸于點E，交直線AC于點D，求線段PD的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）是否存在點D，使得四邊形PDOC為平行四邊形？若存在，求D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對稱性可求得B（-1，0），將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）先求得直線AC的解析式，設點P（x，x²-2x-3）則D（x，x-3），然后得到PD的長與x的函數關系式，從而可求得PD的最大值以及點P的坐標；
（3）當OC為平行四邊形的邊時，則OC∥PD且OC=PD，以得到點D的坐標；當OC為對角線時，設點D的坐標為（x，y），由中點坐標公式可求得點D的坐標．

解答 解：（1）∵點A的坐標是（3，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴B（-1，0）．
將點A和點B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）如圖所示：

當x=0，y=-3，則C（0，-3）．
設直線AC的解析式為y=kx-3，將點A的坐標代入得：3k-3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x-3．
設點P（x，x²-2x-3）則D（x，x-3）．
∴PD=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，PD的最大值為$\frac{9}{4}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）當OC為平行四邊形的邊時，則OC∥PD且OC=PD．
∴點D的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．
當OC為對角線時，
設點D的坐標為（x，y），由中點坐標公式可知：$\frac{x+\frac{3}{2}}{2}$=0，$\frac{y-\frac{15}{4}}{2}$=$\frac{0-3}{2}$．
解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{4}$．
∴點D的坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，列出PD的長與x的函數關系是解答問題（2）的關鍵；分類討論是解答問題（3）的關鍵．