Question

已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求證：AE²+BF²=EF²；
（2）如圖2，如果CA＜CB，（1）中結論AE²+BF²=EF²還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，連接EM，通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案；
（2）延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM，根據（1）通過證明AM=BF，EF=EM即可得出答案．
解答：（1）證明：過點A作AM∥BC，交FD延長線于點M，
連接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²．（3分）


（2）成立．
證明：延長FD至M，使DM=DF，連接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²（7分）
（說明：本題提供的兩種證法對（1）、（2）兩問均適用）
點評：本題考查了勾股定理與全等三角形的判定與性質，有一定難度，關鍵是正確作出輔助線．