Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形中，于，平分交線段于．

（1）如果，求證：；

（2）一般的情況下，如果，試探究線段、與之間的所滿足的等量關(guān)系(其中，是已知數(shù))．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）nCD=mAF+nBE．

【解析】

（1）延長(zhǎng)EA到G，使得 ，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出，求出 ，根據(jù)SAA證明 ，推出 ， ，求出 ，推出 即可；

（2）延長(zhǎng)EA到G，使得 ，連接DG，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似，推出 ，推出 ，代入即可求出答案．

（1）過D作DH⊥BC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，并截取HG=AF，連接DG

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

∵于點(diǎn)E

∴

∴

∴

在△ABE和△DGA中

∴

∴

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

（2）nCD = mAF + nBE.

理由是：延長(zhǎng)EA到G，使得，連接DG，

即

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形

所以AB=CD，，AD=BC，

因?yàn)?/span>于點(diǎn)E

所以∠AEB=∠AEC=90°

所以∠AEB=∠DAG=90°

所以∠DAG=90°，

即∠AEB=∠GAD=90°

因?yàn)?/span>

所以

所以∠1=∠2，，

所以∠GFD=90°-∠3

因?yàn)?/span>DF平分∠ADC

所以∠3=∠4

所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3

所以∠GDF=∠GFD

所以DG=GF

因?yàn)?/span>，AB=CD（已證）

所以nCD=mDG=m

即nCD= mAF + nBE.